算法一【排序算法】

1.排序算法的稳定性

稳定性：稳定排序算法会让原本有相等键值的纪录维持相对次序。也就是如果一个排序算法是稳定的，当有两个相等键值的纪录R和S，且在原本的列表中R出现在S之前，在排序过的列表中R也将会是在S之前。

当相等的元素是无法分辨的，比如像是整数，稳定性并不是一个问题。然而，假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。

(4, 1)  (3, 1)  (3, 7)（5, 6）

在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是让相等键值的纪录维持相对的次序，而另外一个则没有：

(3, 1)  (3, 7)  (4, 1)  (5, 6)  （维持次序）
(3, 7)  (3, 1)  (4, 1)  (5, 6)  （次序被改变）

不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。不稳定排序算法可以被特别地实现为稳定。作这件事情的一个方式是人工扩充键值的比较，如此在其他方面相同键值的两个对象间之比较，（比如上面的比较中加入第二个标准：第二个键值的大小）就会被决定使用在原先数据次序中的条目，当作一个同分决赛。然而，要记住这种次序通常牵涉到额外的空间负担。

2.冒泡排序

冒泡排序（英语：Bubble Sort）是一种简单的排序算法。它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

冒泡排序算法的运作如下：

（1）比较相邻的元素。如果第一个比第二个大（升序），就交换他们两个。
（2）对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。
（3）针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
（4）持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。

2.1 冒泡排序的分析

交换过程图示(第一次)：

需要进行n-1次冒泡过程，每次对应的比较次数如下图所示：

总结：冒泡排序的关键点：
（1）n个数据进行排序，不考虑最优时间复杂度时，要冒泡（n-1）轮。
（2）每轮冒泡时，随着比轮数的增加，要冒泡（n-1-i）次。 i ：表示第i轮冒泡。

2.2 冒泡排序的代码实现

def bubble_sort(alist):
    n =len(alist)
    for i in range(n-1):
        count = 0	#此处的计数为最优算法时间复杂度做准备
        for j in range(n-1-i):
            if alist[j] > alist[j+1]:
                alist[j],alist[j+1]=alist[j+1],alist[j]
                count += 1
        if 0 == count:
            print("冒泡排序过程中没有进行过交换，此时算法时间复杂度最优为O(n)")
            break

2.3 时间复杂度

（1）最优时间复杂度：O(n) （表示遍历一次发现没有任何可以交换的元素，排序结束。）
（2）最坏时间复杂度：O(n^2)
（3）稳定性：稳定

3. 选择排序

选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理如下。首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。

选择排序的主要优点与数据移动有关。如果某个元素位于正确的最终位置上，则它不会被移动。选择排序每次交换一对元素，它们当中至少有一个将被移到其最终位置上，因此对n个元素的表进行排序总共进行至多n-1次交换。在所有的完全依靠交换去移动元素的排序方法中，选择排序属于非常好的一种。

3.1 选择排序分析

排序过程：

总结：选择排序的关键点：
（1）n个数据进行排序，要选择（n-1）轮。
（2）每轮选择时，每个数据都要和剩下的所有数据作比较（i+1,n）,i表示第 i 轮选择。

3.2 选择排序代码实现

def select_sort(alist):
    n = len(alist)
    min_index = 0
    for i in range(n - 1):	#n个数据进行n-1轮操作
        for j in range(i + 1, n):	#每个数据都要和剩下的所有数据作比较
            if alist[min_index] > alist[j]:
                min_index = j	#重置最小值的索引
                alist[min_index], alist[j] = alist[j], alist[min_index]
        alist[min_index], alist[i] = alist[i], alist[min_index]


li = [12, 2432, 3, 4654, 5, 43, 143,3]
select_sort(li)
print(li)

3.3 时间复杂度

（1）最优时间复杂度：O(n^2)
（2）最坏时间复杂度：O(n^2)
（3）稳定性：不稳定（考虑升序每次选择最大的情况）

4.插入排序

插入排序（英语：Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。

4.1 插入排序分析

总结：插入排序的关键点：
（1）n个数据进行排序，要插入（n-1）轮。
（2）每轮插入时，要插入的数据都要和前面已经排列好的有序数据作比较，以找到合适的位置插入。
（3） 当待排序数据已经是有序数据时，每轮插入时各个数据不动，其自身位置既是最优位置，此时算法时间复杂度最为O(n)。

4.2 插入排序实现代码

def insert_sort(alist):
    n=len(alist)
    for i in range(n-1):
        j = i
        while j > 0:
            if alist[j] < alist[j-1]:
                alist[j],alist[j-1]=alist[j-1],alist[j]
                j -=1
            else:		#此处优化了代码，当待排序序列已经是有序序列时，不再进行比较插入。
                break

4.3 时间复杂度

（1）最优时间复杂度：O(n) （升序排列，序列已经处于升序状态）
（2）最坏时间复杂度：O(n2)
（3）稳定性：稳定

5.希尔排序

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。该方法因DL．Shell于1959年提出而得名。 希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。

5.1 希尔排序过程

希尔排序的基本思想是：将数组列在一个表中并对列分别进行插入排序，重复这过程，不过每次用更长的列（步长更长了，列数更少了）来进行。最后整个表就只有一列了。将数组转换至表是为了更好地理解这算法，算法本身还是使用数组进行排序。

例如，假设有这样一组数[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]，如果我们以步长为5开始进行排序，我们可以通过将这列表放在有5列的表中来更好地描述算法，这样他们就应该看起来是这样(竖着的元素是步长组成)：

13 14 94 33 82
25 59 94 65 23
45 27 73 25 39
10

对每列进行排序：

10 14 73 25 23
13 27 94 33 39
25 59 94 65 82
45

将上述四行数字，依序接在一起时我们得到：[ 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 ]。这时10已经移至正确位置了，然后再以3为步长进行排序：

10 14 73
25 23 13
27 94 33
39 25 59
94 65 82
45

排序之后变为：

10 14 13
25 23 33
27 25 59
39 65 73
45 94 82
94

最后以1步长进行排序（此时就是简单的插入排序了）

5.2 希尔排序的分析

5.3 希尔排序代码实现

def shell_sort(alist):
    n=len(alist)
    gap = n//2
    while gap > 0:
        for i in range(gap,n):
            j = i
            while j> 0:
                if alist[j] < alist[j-gap]:
                    alist[j],alist[j-gap]=alist[j-gap],alist[j]
                    j -=gap
                else:
                    break
        gap = gap//2

5.4 时间复杂度

（1）最优时间复杂度：根据步长序列的不同而不同
（2）最坏时间复杂度：O(n2)
（3）稳定性：不稳定

6. 快速排序

快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

步骤为：

（1）从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot）。
（2）重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。
（3）递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

6.1 快速排序的分析

6.2 快速排序代码实现

（1）实现方法一

def quick_sort(alist, start, end):
    """快速排序"""
    # 快速排序退出条件
    if start >= end:
        return
    # 设定起始元素为要寻找位置的基准元素
    mid = alist[start]
    # low为序列从左向右移动的游标
    low = start
    # high为序列从右向左移动的游标
    high = end
    while low < high:
        # low和high游标不重合，high游标指向的元素比mid大，则high游标向左移动
        while low < high and alist[high] >= mid:
            high -= 1
        # 将high游标指向的元素放到low位置上
        alist[low] = alist[high]
        # low和high游标不重合，low游标指向的元素比mid大，则low游标向右移动
        while low < high and alist[low] < mid:
            low += 1
        # 将low游标指向的元素放到high位置上
        alist[high] = alist[low]
    # 退出循环后，low与high重合，此时所指位置为基准元素的正确位置
    # 将基准元素放到原来列表的该位置上
    alist[low] = mid
    # 对基准元素左边的子序列进行快速排序
    quick_sort(alist, start, low - 1)
    # 对基准元素右边的子序列进行快速排序
    quick_sort(alist, low + 1, end)


if __name__ == "__main__":
    li = [54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20, 87, 90]
    print(li)
    quick_sort(li, 0, len(li) - 1)
    print(li)

执行结果：
	[54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20, 87, 90]
	[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 87, 90, 93]

（2）实现方法二

def quick_sort(alist):
    if len(alist) < 2:
        return alist
    mid = alist[len(alist) // 2]
    left, right = [], []
    alist.remove(mid)
    for i in range(len(alist)):
        if alist[i] >= mid:
            right.append(alist[i])
        else:
            left.append(alist[i])
    return quick_sort(left) + [mid] + quick_sort(right)


if __name__ == "__main__":
    li = [54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20, 87, 90]
    print(li)
    # quick_sort(li, 0, len(li) - 1)
    li_sort = quick_sort(li)
    print(li_sort)


执行结果：
	[54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20, 87, 90]
	[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 87, 90, 93]

6.3 时间复杂度

（1）最优时间复杂度：O(nlogn)
（2）最坏时间复杂度：O(n^2)
（3）稳定性：不稳定

从一开始快速排序平均需要花费O(nlogn)时间的描述并不明显。但是不难观察到的是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，使用O(n)的时间。在使用结合（concatenation）的版本中，这项运算也是O(n)。

在最好的情况，每次我们运行一次分区，我们会把一个数列分为两个几近相等的片段。这个意思就是每次递归调用处理一半大小的数列。因此，在到达大小为一的数列前，我们只要作log n次嵌套的调用。这个意思就是调用树的深度是O(log n)。但是在同一层次结构的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部分；因此，程序调用的每一层次结构总共全部仅需要O(n)的时间（每个调用有某些共同的额外耗费，但是因为在每一层次结构仅仅只有O(n)个调用，这些被归纳在O(n)系数中）。结果是这个算法仅需使用O(nlogn)时间。

7. 归并排序

归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。

将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。

7.1 归并排序的代码实现

def merge_sort(alist):
	"""归并排序"""
	n = len(alist)	
	# 列表中的数据被分解到单个数后，返回，进行比较
	if n <= 1:		
		return alist
	mid = n // 2
	# 将列表逐次分解
	left_list = merge_sort(alist[:mid])
	right_list = merge_sort(alist[mid:])
	
	# 设置左右游标，用于比较本次递归中的left_list、right_list两个子列表
	left_pointer = 0
	right_pointer = 0
	# 设置本次递归结束后返回的子列表
	result = []
	# 通过移动左右游标比较两个子列表元素，将两个子列表合并为高一级的有序子列表
	while left_pointer < len(left_list) and right_pointer < len(right_list):
		if left_list[left_pointer] < right_list[right_pointer]:
			result.append(left_list[left_pointer])
			left_pointer += 1
		else:
			result.append(right_list[right_pointer])
			right_pointer += 1
	# 将left_list、right_list中剩余的元素追加进来(原列表元素为
	# 奇数，会出现left_list个数为奇数/偶数、right_list个数为偶
	# 数/期数的情况，循环结束后left_list或right_list会有剩余元
	# 素，此时将剩余元素与result合并即可)
	result += (left_list[left_pointer:]) 
	result += (right_list[right_pointer:])
	return result

list1 = [11,45,3,1,5,67,890,12,34,45,66,45]
print(list1)
list1_merge = merge_sort(list1)
print(list1_merge)

执行结果：
	[11, 45, 3, 1, 5, 67, 890, 12, 34, 45, 66, 45]
	[1, 3, 5, 11, 12, 34, 45, 45, 45, 66, 67, 890]

7.2 时间复杂度

（1）最优时间复杂度：O(nlogn)
（2）最坏时间复杂度：O(nlogn)
（3）稳定性：稳定

8. 常见排序算法效率比较