牛客挑战赛48C 铬合金之声【Prufer序列+思维转化】

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题意

分析

向 $n$ 个点中加入 $m$ 条边，形成 $n-m$ 个联通块，那么每个联通块必然为一棵树。利用反证法可以证明：如果一个大小为 $x$ 的联通块含有大于 $x-1$ 条边，那么最后形成的联通块的数量显然小于$n-m$ 个，因为有一些边并没有使得联通块的数量减少 $1$。
又因为，对于一棵无根树而言，计算其大小的贡献，相当于选择其根的方案数。此时，再建立一个虚点 $0$ 并固定其度为 $n-m$ ，就将 $n-m$ 棵树的森林转化为 $n+1$ 个节点的树。我们要求的就是以 $0$ 为根的树的个数，可以借助 Prufer 序列来解决。因为 $0$ 号点的度固定为 $n-m$，那么它在序列中出现的次数为 $n-m-1$，剩余的 $n-1-(n-m)$ 个位置为 $[1,n]$任意选，所以最终的方案数为：
$$\left(\begin{array}{c}n-1\\ n-m-1\end{array}\right)\cdot n^m=\left(\begin{array}{c}n-1\\ m\end{array}\right)\cdot n^m$$
$\left(\begin{array}{c}n-1\\ m\end{array}\right)$ 可以通过公式：$\frac{(n-1)\cdots (n-m)}{m\cdot (m-1)\cdot \cdots 1}$和递推逆元求出，$n^m$ 使用快速幂直接求解。最终的复杂度：$O(m)$

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e7+5;
int inv[N];
ll power(ll x,ll y){
	ll res=1;
	x%=mod;
	while(y){
		if(y&1) res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	ll res=1;
	for(int i=0;i<m;i++)
		res=res*(n-1-i)%mod;
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=m;i++)
		inv[i]=(mod-1LL*mod/i*inv[mod%i]%mod)%mod;
	for(int i=1;i<=m;i++) res=res*inv[i]%mod;
	res=res*power(1LL*n,1LL*m)%mod;
	printf("%lld\n",res);
	return 0;
}
//C(n-1,m)*n^m