CCA的区间【状压+子集和DP】

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题意

给定一个长度为 $n$ 的序列，序列中的每个元素都是 $2$ 的幂次 。现在你需要找出一个各元素之和最大的，内部没有相同元素的子区间，输出这个元素和的最大值 。你可以最多翻转一个子区间 。$(n\le 10^5,1\le 序列中的元素\le 2^{23})$

分析

关键在于翻转子区间的作用，翻转子区间，相当于可以把两段不相邻的区间合并。又因为每个数都是 $2$ 的幂次，并且最多 $24$ 位，因此可以将每个没有重复数字的区间压缩成一个数。这样，问题就转化为了从集合中选择两个数 $x,y$，满足 $x\&y=0$，使得 $x|y$ 最大。
接下来，可以预处理出每个状态的最大子集和是多少，那么最后只要枚举每个状态，求出它和它的补集的最大子集和，取最大即可。
这个问题的关键还是利用好每个数是 $2$ 的次幂，并且位数较少，可以状压。时间复杂度，我感觉有点紧。还有就是循环对时间的影响我不太清除，把小的循环放在外面比把大的循环放在外面的时间少很多。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;//翻转相当于取任意两段区间合并
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
int a[N];
ll dp[1<<24];//dp[i]表示i状态的最大子集的和
void read(int &x){
	x=0;
	int f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	x*=f;
}
int main(){
	cout<<(1<<24)<<endl;
	int n;
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){//把每个区间转换为一个数,保证每个区间中没有重复的数
		int res=0;
		for(int j=0;i+j<=n;j++){
			if(res&a[i+j]) 
				break;
			res|=a[i+j];
			dp[res]=res;
		}
	}
	//预处理出每个状态的最大子集和
	int maxn=(1<<24)-1;
	for(int i=0;i<=maxn;i++){//交换两个循环的顺序时间差别很大
		for(int j=0;j<24;j++){//把这层放在外面更快
			if((i>>j)&1){
				dp[i]=max(dp[i],dp[i^(1<<j)]);
			}
		}
	} 
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=maxn;i++){//当前集合和其补集
		ans=max(ans,dp[i]+dp[maxn^i]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}