第四章 KMP算法

4.1 前后缀概念

串的前缀：一定包含第一个字符，但是不包含最后一个字符的子串
串的后缀：一定包含最后一个字符，但是不包含第一个字符的子串

4.2 求next数组（手算原理）

原理：

当第j个字符匹配失败的时候，有前1~j-1个字符组成的串记为S，则next[j]=S的前后缀相等的最长长度+1。
特别的有
next[1]=0
next[2]=1

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求ababaa的next数组：

序号	1	2	3	4	5	6
模式串	a	b	a	b	a	a
next[j]	0	1	1	2	3	4

4.3 求next数组伪代码

模式串为$p_1{p}_2...p_{k-1}{p}_k....p_{j-k+1}...p_{j-1}{p}_j...p_m$
算法步骤：

1. 首先next[1]=0
2. 设next[j]=k其中k满足
   假设此时与模式中的第k个字符进行比较，则模式中前k-1个字符的子串必须满足下列条件，且不存在一个比k更大的值满足下列条件：
   $p_1{p}_2...p_{k-1}=p_{j-k+1}{p}_{j-k+2}...p_{j-1}$
3. 此时next[j+1]可能有两种情况：
   1. 若$p_k=p_j$
      表明在模式串中 $p_1{p}_2...p_k=p_{j-k+1}{p}_{j-k+2}...p_j$，并且不存在一个更大的k值满足上述条件，此时next[j+1]=k+1，可以化为next[j+1]=next[j]+1
   2. 若$p_k\ne p_j$
      表明在模式串中 $p_1{p}_2...p_k\ne p_{j-k+1}{p}_{j-k+2}...p_j$。
      问题变成：用前缀$p_1{p}_2...p_k$去跟后缀$p_{j-k+1}{p}_{j-k+2}...p_j$进行匹配，也就是求前缀的前缀和后缀的后缀的最长相等字符个数（相当于原问题的子问题，模式串的规模减小）。
      那么当$p_k\ne p_j$的时候，需要将$p_1{p}_2...p_k$移动成$p_1{p}_2...p_{next[k]}$，此时比较$p_{next[k]}$与$p_j$，如果还是不匹配，需要寻找长度更短的相等前后缀，下一步继续用$p_{next[next[k]]}$与$p_j$进行比较，直到找到某一个更小的$k^{\prime }=next[next...[k]]$使得其满足条件$p_1{p}_2...p_{k^{\prime }}=p_{j-k^{\prime }+1}{p}_{j-k^{\prime }+2}...p_j$，则$next[j+1]=k^{\prime }$，如果不存在，就令$next[j+1]=1$

伪代码：

void get_next(String T, int next[]){
	int i = 1, j = 0; // 第一位不存字符
	next[1]=0; // next[1]首位为0
	while(i < T.length){
		if(j==0 || T.ch[i] == T.ch[j]){
			++i; ++j;
			next[i] = j; //next从2开始，next[i] = next[j]+1
		}else{
			j = next[j]; //如果不满足，循环找到最小的j
		}
	}
}

4.4 KMP算法伪代码