包含噪声的测量仪测量模型

\qquad测距仪的测量模型可以近似激光测距仪和超声波传感器。这类模型大致有四类误差包括小的测量噪声、意外对象引起的误差、未检测到对象引起的误差和随机意外噪声。
\qquad1. 局部测量噪声 误差受到测距传感器的有限分辨率、大气对测量信号的影响等引起的。测量噪声通常由一个窄的均值为$z_t^{k\ast }$(真实距离)、标准偏差为${\sigma }_{hit}$的高斯建模，标准偏差是测量模型的一个固有的噪声参数。使用$K$表示在一个测量$z_t$内的测量值数目，既有zt={zt1,zt2,⋯ ,ztK}z_{t}=\{z_{t}^{1},z_{t}^{2},\cdots,z_{t}^{K}\}zt​={zt1​,zt2​,⋯,ztK​},$z_t^k$表示一个独立的测量，使用$p_{hit}$表示带有噪声的测量概率密度函数。测距传感器的值局限于$[0;z_{max}]$，其中$z_{max}$表示最大的传感器距离。概率密度函数为：
$$p_{hit}(z_t^k|x_t,m)=\{\begin{array}{l}\eta \mathcal{N}(z_t^k;z_t^{k\ast },{\sigma }_{hit}^2)0\le z_t^k\le z_{max}\\ 0other\end{array}$$\qquad单变量正态分布
$$\mathcal{N}(z_t^k;z_t^{t\ast },{\sigma }_{hit}^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_{hit}^2}}{e}^{-\frac{1}{2}\frac{z_t^k-z_t^{k\ast }}{{\sigma }_{hit}^2}}$$\qquad归一化因子$\eta$为
$$\eta =({\int }_0^{z_{max}}\mathcal{N}(z_t^k;z_t^{k\ast },{\sigma }_{hit}^2)d{z}_t^k{)}^{-1}$$\qquad式中$z_t^{k\ast }$通过$x_t$和$m$经过射线投射计算。

\qquad 2. 意外对象 移动机器人的环境是动态的，典型的移动对象就是与机器人共享操作空间的人，处理这类对象的一种方法是将它们作为状态向量的一部分来对待并估计它们的位置，另一种方法是将它们作为传感噪声来测量。
\qquad作为传感器噪声来处理，未建模对象具有这样的特性，即它们会导致比$z_t^{k\ast }$更短而不是更长的距离！！！！！，检测到意外对象的可能性随着距离而减少。这种情况测量距离的概率使用指数分布来表示，该分布的参数${\lambda }_{short}$是测量模型的固有参数，根据指数分布的定义得到概率密度函数为
$$p_{short}(z_t^k|x_t,m)=\{\begin{array}{l}\eta {\lambda }_{short}{e}^{-{\lambda }_{short}{z}_t^k}0\le z_t^k\le z_t^{k\ast }\\ 0other\end{array}$$\qquad推导得
$$\eta =\frac{1}{1-e^{-{\lambda }_{short}{z}_t^{k\ast }}}$$\qquad该密度在$z_t^k$范围内指数减少。

\qquad 3. 检测失败 环境中障碍会被完全忽略。传感器检测失败的典型结果是最大测量距离，传感器返回它的最大允许值$z_{max}$，概率密度为：
$$p_{max}(z_t^k|x_t,m)=I(z=z_{max})=\{\begin{array}{l}1z=z_{max}\\ 0other\end{array}$$式中，$I$为一个指示函数，技术上，$p_{max}$不具有一个概率密度函数。$p_{max}$是一个离散分布，下图中$p_{max}$使用一个很窄的以$z_{max}$为中心的均匀分布，假装密度的存在。

\qquad4. 随机测量 测距仪偶尔产生完全无法解释的测量，该测量模型使用均匀分布在传感器测量范围$[0;z_{max}]$来建立模型。
$$p_{rand}(z_t^k|x_t,m)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{z_{max}}0\le z_t^k\le z_{max}\\ 0other\end{array}$$\qquad密度函数为：

\qquad将4种不同的分布通过四个参数$z_{hit}、z_{short}、z_{max}$和$z_{rand}$进行加权平均混合，并且$z_{hit}+z_{short}+z_{max}+z_{rand}=1$，有
$$p(z_t^k|x_t,m)={\left[\begin{array}{c}{z}_{hit}\\ z_{short}\\ z_{max}\\ z_{rand}\end{array}\right]}^T\cdot \left[\begin{array}{c}{p}_{hit}(z_t^k|x_t,m)\\ p_{short}(z_t^k|x_t,m)\\ p_{max}(z_t^k|x_t,m)\\ p_{rand}(z_t^k|x_t,m)\end{array}\right]$$\qquad加权平均混合密度函数为：