斯坦福密码学 —— 02流密码

02流密码

密码

由加密和解密两个算法E、D组成，也可以定义为一个三元组$(\mathcal{K},\mathcal{M},\mathcal{C})$:（密钥空间，明文空间，密文空间）
E通常为一个随机算法，D是确定算法

有效

可以自己决定什么是有效，例如：多项式时间、特定时间

一次性密码本 The One Time Pad

明文空间 = 密文空间 = { 0 , 1 } n \{0,1\}^n { 0,1}n

$c:=E(k,m)=k\oplus m$
$m=D(k,c)=k\oplus c$

缺点：密钥需要与明文一样长，因此在实际中很难使用，如果Alice能够安全传输密钥给Bob，那她一定可以安全传输同样长度的明文给Bob

密码的安全性

密码无法揭露明文的任何信息，一个密文c，由明文$m_1$或$m_2$加密得来的概率是一样的，即无法由密文反推出明文

密钥在密文空间中均匀分布： $k\stackrel{R}{⟵}\mathcal{K}$（R表示Random、均匀分布）

证明：

对任意的$m,c$，$E(k,m)=c$ 的概率等于所有能够使其成立的$k$，除以总的$k$的个数，即：

$Pr[E(k,m)=c]=\frac{\#keys,k\in \mathcal{K},s.t.E(k,m)=c}{|\mathcal{K}|}$ 可以看出只需要分子是一个常数，即为完美安全（key就是k）

在一次性密码本中，由于 $c=k\oplus m\Rightarrow k=c\oplus m$，k是唯一的

因此一次性密码本实际上是完美安全的，没有唯密文攻击

对于完美安全的密码，密钥空间的大小 $\ge$ 明文空间的大小：$|\mathcal{K}|\ge |\mathcal{M}|$

流密码

由于一次性密码本虽然是完美安全，但是不实用。于是基于一次性密码本的思想，改造出了流密码

idea：把随机的key替换成伪随机的。流密码不是完美安全的，因为密钥比明文短

PRG（伪随机数发生器）：取一个随机种子s，把它映射成一个很长的比特序列，比如种子可能只有128位，但可以扩展成很长的字符串。

函数G本身没有随机性，它是一个可以有效计算的确定性函数，唯一有随机性的东西是随机种子s。输出应该是“看起来随机的”。
PRG的性质：
不可预测性：可预测指的是，给定一段序列，推算出后面一位的概率$>=1/2+ϵ,ϵ>=1/2^{30}$
($ϵ<=1/2^{80}$ 时被认为是可忽略的)

可忽略和不可忽略

$ϵ(\lambda )=1/2^{\lambda }$：negligible
ϵ ( λ ) = 1 / λ 1000