（一）时间空间复杂度分析（上）

时间空间复杂度分析

事后统计法弊端：

• 测试结果非常依赖测试环境
• 测试结果受数据规模影响很大

时间复杂度（渐进时间复杂度）：表示代码执行时间岁数据规模增长的变化趋势

时间复杂度分析

• 只关注循环执行次数最多的一段代码
• 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
  • 注：常量可以忽略
• 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

复杂度量级

• 多项式量级和非多项式量级，其中非多项式量级有两个：O(2^n) 和 O(n!)

NP 问题

NP（Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式）问题，时间复杂度为非多项式量级的算法问题。

当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。

常见的多项式时间复杂度

O(1)

• 代码的执行时间不随 n 的增大而正大

• 只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行代码，期时间复杂度也是O(1)

O(logn)、O(nlogin)

i=1
while(i <= n){
	i = i * 2;
}

类似于等比数列：

x 代表了 代码执行的次数。 $2^x=n$ 求解 $x=lo{g}_{2}n$，所以这段代码的时间复杂度为 O( $lo{g}_{2}n$)。

• 对数之间可以相互转换， $lo{g}_{3}n=lo{g}_{2}3\ast lo{g}_{2}n$，所以O($lo{g}_{3}n$) = O($C\ast lo{g}_{2}n$)，其中 $C=lo{g}_{3}2$ 是一个常量。
• 采用大 O 标记复杂度的时候，可有意忽略系数O(Cf(n)) = O(f(n))。
• 因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O($logn$)

O(m+n)、O(m*n)

代码的复杂度由两个数据的规模来决定

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以时间复杂度为 $O(m+n)$，但乘法法则继续有效

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了。

小结

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。

数据结构与算法之美：学习笔记一