【2014.01】普林斯顿数学指南(第一卷) [英]Timothy Gowers编 齐民友译

上面的证明有点长，但是每一步都是证明一个相当简单的不等式，这就是说上述证明是一个典型的分析证明的意义。

作为对照，这里再给出一个“代数学家”的证明。

只要注意到x⁴-x²-6x+10其实等于(x²-1)²+(x-3)³，所以它总是正的。

如果可以在代数和分析中作一个选择，似乎人们总会赞成代数。

不论如何，代数证明要短多了，而使得这个函数很明显地为正。

然而，分析学家的证明虽然有好几步，但每一步都很简单，代数证明的简短反而会产生误导，因为它对于怎样找到等价的式子(x²-1)² + (x-3)³没有给出任何线索。

而且，事实上，一个多项式写为其他多项式平方之和这个一般问题却是既有趣又困难的问题(特别是在多项式的变元多于一个的情况)。

处理这个问题还有第三种混合的途径，这就是用微积分找到使x⁴-x²-6x+10达到最小值的点。

这里的想法就是：先求出导数4x³-2x+6(这是一个经过了分析论证的代数过程)，求出它的根(这是代数)，再验证x⁴-x²-6x+10在此点的值为正。

然而，虽然这个方法对于许多问题是好方法，现在却需要一点技巧，因为三次多项式4x³-2x+6没有整数根。

但是我们可以用分析的论证，找到最小值一定出现在其中的小区间，这就会减少用第一种纯分析论证时，需要分别考虑的情况的个数。

正如这个例子所示，虽然分析时常涉及极限过程，而代数则不，二者之间的一个更加显著的区别在于：代数学家喜欢与准确的公式打交道，分析学家则喜欢作估计。

或者说得更加简洁一点：代数学家喜欢等式，分析学家喜欢不等式。