【2014.01】普林斯顿数学指南(第一卷) [英]Timothy Gowers编 齐民友译

1.2 代数与分析的对比

"分析"一词，若代表数学的一个分支，则在中学水平上并不起大作用。

然而，"微积分"这个词大家就熟悉得多，而微分和积分是数学中划分为分析而非代数与几何的好例子。

理由在于它们都牵涉到极限过程。

例如函数f在x点的导数就是f的图像的弦的梯度^①（①即斜率。——中译本注），它是一个序列的极限。

而具有弯曲边界的形状的面积则定义为越来越充满这个形状的直边区域面积的极限(这些概念将在[I.3 ~3.2]里作详细得多的讨论)。

 

这样，作为最初步的近似，可以说，凡是一个数学分支涉及极限过程，它就属于分析，而如果只需通过有限多个步骤就能得到答案，它就属于代数。

然而，这个最初的近似，又一次不仅是粗略的，而且会产生误导，理由也是类似的：不是哪些数学分支应该分类为分析或代数，应该分类的是数学技巧。