最长回文子串--动态规划（O(N^2)）

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为1000。

示例 1：

输入: “babad”
输出: “bab”
注意: "aba"也是一个有效答案。
示例 2：

输入: “cbbd”
输出: “bb”
回文串的定义我就不啰嗦了。对于这道题，我的第一反应是用动态规划方法解。

假设字符串s的长度为length，建立一个length*length的矩阵dp。

dp[i][j]表示“以s[i]开始s[j]结尾的回文串的长度。如果这个字符串不是回文串，让dp[i][j]=0”。显然，j>=i，只需往dp填j>=i的部分即可。

dp[i][j]的递推公式可以这么表述：

（1）首先对dp的对角线元素初始化为1，也就是当i==j时，dp[i][j]=1。

这很显然，每个单独的字符其实就是个长度为1的回文串。

（2）当j-i==1：

若s[i]==s[j]，则dp[i][j]=2；否则dp[i][j]=0。

解释：当j-i==1时，若s[i]==s[j]，则s[i]和s[j]可以组成一个长度为2的回文串。若s[i]！=s[j]，显然他们不可能组成回文串，dp[i][j]=0。

（3）当j-i>=2：

若s[i]==s[j]：若dp[i+1][j-1]>0，则dp[i][j]= dp[i + 1][j - 1] + 2;否则dp[i][j]= 0;

若s[i]！=s[j]：dp[i][j]=0。

解释：如果s[i]==s[j]，表明这个子串有可能是回文串。当去头去尾后它是回文串时，就可以在去头去尾的那个回文串长度基础上+2，得到它的长度。如果去头去尾后不是回文串，那这个子串一定不是回文串，回文串长度只能是0。

若s[i]！=s[j]，显然他们不可能组成回文串，dp[i][j]=0。

只需找到dp[i][j]的最大元素和它对应的i和j就可以得到结果“s中最长回文子串”。

另外还有一个要注意的点：因为需要访问dp[i+1][j-1]，因此i是从大到小的，j是从小到大的。j从0到size-1，i从j-1到0。

#include "iostream"
#include "string"
#include "sstream"
#include "vector"
#include "algorithm"
using namespace std;

int main()
{
	string str =" ";
	
	while (getline(cin, str))
	{
		int len = str.length();
		vector<vector<int>> dp(len + 1, vector<int>(len + 1, 0)); //dp[i][j]表示字符串第i个开始和字符串第j个结束之间的回文长度
		for(int i = 1; i < len + 1; i++)
			for (int j = 1; j < len + 1; j++)
			{
				if (i == j)
					dp[i][j] = 1;        //对角线的元素置为1，因为单独字符的回文长度为1
			}
		int max_len = 0;
		int start = 0;
		for(int j = 1; j< len+1 ; j++)//以结束为止为外循环，每次循环完毕则得到以此为终点的最长回文串
			for (int i = j - 1; i >= 1; i--)
			{
				
				if (str[i - 1] == str[j - 1])//起、终元素一样
				{
					if (j - i == 1)          //如果长度差1
						dp[i][j] = 2;
					else
					{
						if (dp[i + 1][j - 1] > 0) //长度差大于2,就看是一个串是不是回文
							dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
						else
							dp[i][j] = 0;
					}
				}
				else
					dp[i][j] = 0;
				if (dp[i][j] > max_len)
				{
					max_len = dp[i][j];
					start = i-1;
				}
			}
		string s = str.substr(start, max_len);
		cout << s << endl;
	}
}