快速幂取模系列问题

最新推荐文章于 2024-03-19 23:44:29 发布

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本文详细介绍了快速幂算法及其在求解a^b%c问题中的应用，同时提供了循环和递归两种实现方式。此外，还介绍了如何使用快速乘法避免数据溢出，并深入探讨了矩阵快速幂在处理递推式时的高效解决方案。

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快速幂取模问题即求： a^b%c

如果直接用暴力求解，要考虑时间复杂度，溢出的情况，所以要采用快速幂来求解。

用快速幂求解，首先要知道两个公式：

1.(a*b)mod c=[(a mod c)*(b mod c)]mod c

2.(a^b) mod c=[a mod c]^b mod c

注：求 a^b%c 时，要考虑b的奇偶性

快速幂的代码如下：

1.循环时间复杂度为logn

long long pow(long long a,long long b,long long c)
{
    a=a%c;
    long long ans=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)  ans=(ans*a)%c;  //b为奇数
        a=(a*a)%c;
        b/=2;   //b>>=1;
    }
    return ans;
}

2.递归时间复杂度为logn

long long pow(long long a,long long b,long long c)
{
    if(b==0) return 1;
    int x=pow(a,b/2,c);
    long long ans=(long long )x*x%c;
    if(b&1) ans=ans*a%c;
    return ans;
}

有时候，在算ans时，数据有可能会爆掉，ans=ans*a%c，其实就是一个乘法 a*b，即a个b相加，这时候用快速乘法算，就不会爆掉。快速乘法的思想和快速幂是一样的，只需要把“ * ”改为“ + ”，代码如下：

long long Plus(long long a,long long b,long long c)
{
    long long ans=0;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)  ans=(ans+a)%c;
        a=(a+a)%c;
        b/=2;
    } 
    return ans;
}

除此之外，涉及矩阵时，还有矩阵快速幂，矩阵快速幂只适用于方阵。

矩阵快速幂一般用在获得一个递推式后，通过矩阵构造来求得某一个函数值。此时的矩阵往往要经过n次或n-1次幂才可以算出答案。例如： F(n) = a*F(n-1)+b*F(n-2)+c

构造得【F(n),F(n-1),1】=【F(n-1),F(n-2),1】【a 1 0

b 0 0

c 0 1】

要算F(n)只要算出矩阵得n-2次幂，再与[F(2),F(1),1]相乘。

矩阵快速幂得代码：

#include <iostream>
#define N 10
using namespace std;
int Mod;
struct Matrix
{
    int a[N][N];
    void Init()
    {
        for(int i=0;i<N;i++)
        {
            a[i][i]=1;            //矩阵单位化
        }
    }
};
Matrix multi(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix c;
    c.Init();
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        for(int j=0;j<N;j++)
        {
            c.a[i][j]=0;
            for(int k=0;k<N;k++)
            {
                c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
                c.a[i][j]%=Mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
Matrix quick(Matrix a,int k)
{
    Matrix b;
    b.Init();
    while(b>0)
    {
        if(b&1) b=multi(b,a);
        a=multi(a,a);
        b/=2;
    }
    return b;
}