Floyd求无向图最小环模板（路径记录）

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最短路

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本文介绍了一种利用弗洛伊德算法求解最小环的方法，详细解析了算法的转移方程，并通过示例代码展示了如何在更新最短路径的同时求得包含特定顶点的最小环。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

``大家都知道弗洛伊德算法最短路转移方程
$d i s [i] [j] = m i n (d i s [i] [j], d i s [i] [k] + d i s [k] [j])$
可以解释为i到j最短路，可以通过i到k,加上k到j的距离得到，那么如何通过这个求得最小环呢？
当我们还没有借用k转移时，得到的 $d i s [i] [j]$ 是未经过k且i到j的最短路径,假设k为i，j之间的点，那么最小环就可以表示 $d i s [i] [j] + G [i] [k] + G [k] [j]$
因为我们弗洛伊德算法更新时，是按照k从小到大更新，那么就需要限制条件：k为当前环中的序号最大的节点(简称最大点)。因为k是最大点，所以当前环中没有任何一个点≥k，此时我们就可以在更新dis的同时求出最大点为k点时的最小环，所以i,j<k，这样这样就相当于求出每个点左右边断开时，左右点的最短路+左右边的长度

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define _Clr(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 110
using namespace std;

int G[N][N], dist[N][N];
int next[N][N]; // next[i][j]表示ｉ到ｊ经历的第一个点。
int path[N];
int cnt, n;

void Floyd()
{
    int mins=INF;
    for(int k=1; k<=n; k++)
    {
        for(int i=1; i<k; i++)
        for(int j=i+1; j<k; j++)
        {
            int tmp = dist[i][j]+G[i][k]+G[k][j];
            if(tmp < mins)// 更新最小环的权值
            {
                mins = tmp;
                cnt=0;
                int p = i;
                while(p!=j) // 记录最小环的路径
                {
                    path[cnt++] = p;
                    p = next[p][j];
                }
                path[cnt++] = j;
                path[cnt++] = k;
            }
        }
        for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            if(dist[i][k]+dist[k][j] < dist[i][j])
            {
                dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                next[i][j] = next[i][k];
            }
        }
    }
    if(mins==INF)
        puts("No solution.");
    else
    {
        for(int i=0; i<cnt; i++)
            printf("%d%s", path[i], i==cnt-1 ? "\n":" ");
    }
}

void Init()
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    for(int j=1; j<=n; j++)
    {
        G[i][j] = dist[i][j] = INF;
        next[i][j] = j;
    }
}
int main()
{
    int m, a, b, c;
    while(~scanf("%d%d", &n, &m))
    {
        Init();
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            if(c < G[a][b])
            {
                G[a][b] = G[b][a] = c;
                dist[a][b] = dist[b][a] = c;
            }
        }
        Floyd();
    }
    return 0;
}