【网络空间安全数学基础第8章】环和域

1 环和域的基本概念

概念：
定义： 设$R$是非空集合，其上定义了两种运算（通常表示为加法运算$+$和乘法运算$\cdot$），满足以下条件：
（1）$<R,+>$构成Abel群。
（2）$<R,\cdot >$构成半群。
（3）$\cdot$对$+$具有分配律，即对任意的$a,b,c\in R$，有$$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$$则称代数结果$<R,+,\cdot >$为环。
若$\cdot$还满足交换律，即对任意的$a,b\in R,a\cdot b=b\cdot a$，则称之为交换环。若关于$\cdot$有单位元$e$，即对任意的$a\in R,e\cdot a=a\cdot e=a$，则称之为有单位元环。


定理： 设$<R,+,\cdot >$是环，则
（1）对任意的$a\in R$，$0\cdot a=a\cdot 0=0$，其中0是$+$的单位元。
（2）对任意的$a,b\in R$，$(-a)\cdot b=a\cdot (-b)=-(a\cdot b)$。


定理： 在任意交换环$R$中，对任意的$a,b\in R$，$${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}{a}^k{b}^{n-k}$$


定义： 设$a,b$是环$<R,+,\cdot >$中的两个非零元，如果$a\cdot b=0$，则称$a、b$为零因子。在无零因子的环中，若有$a\cdot b=0$，则必有$a=0$或$b=0$。
定义： 含有单位元的交换环，如果没有零因子，则称之为整环。


定义： 如果$<F,+,\cdot >$是整环， ∣ F ∣ > 1 ， < F − { 0 } , ⋅ > |F|>1，<F-\{0\},\cdot> ∣F∣>1，<F−{0},⋅>是群，则称$<F,+,\cdot >$是域。
定义： 设代数系统$<F,+,\cdot >$满足以下条件：
（1）$<F,+>$构成Abel群。
（2） < F − { 0 } , ⋅ > <F-\{0\},\cdot> <F−{0},⋅>构成Abel群。
（3）$\cdot$对$+$满足分配律。
则称$<F,+,\cdot >$是域。


定理： 有限整环一定是域。


定义： 对域中的乘法单位元$e$做连加运算$e+e+\cdot \cdot \cdot +e=ne$，定义有满足$ne=0$的最小正整数$n$称为域的特征，其中$0$为乘法的零元。


定理： 设域的特征为$n$，则对域的任一非零元$a$，有$na=0$。


定理： 域的特征或为$0$或为素数。


定理： 设$F$的特征是素数$p$，则对任意的$a,b\in F，m\in N$，有$${(a+b)}^{p^m}=a^{p^m}+b^{p^m},{(a-b)}^{p^m}=a^{p^m}-b^{p^m}$$


定理： 设$p$是素数，整系数多项式$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +a_{1}x+a_0$，则$$f(x{)}^p=f(x^p)modp$$

例题：
例1：



例2：



例3：



例4：



例5：



例6：

2 子环和理想

概念：
定义： 给定一个环$<R,+,\cdot >$，如果代数系统$<S,+,\cdot >$满足以下条件，就称之为环$<R,+,\cdot >$的子环。
（1）$S\subseteq R$。
（2）对任意的$a,b\in S$，有$a+b\in S，-a\in S$。
（3）对任意的$a,b\in S$，有$a\cdot b\in S$。
条件（1）、（2）保证了$<S,+>$是Abel群，（3）保证了$<S,\cdot >$是半群，$S$上的分配律由$R$上的分配律继承，所以$<S,+,\cdot >$是环。


定义： 设$<R,+,\cdot >$和$<S,\oplus ,\odot >$都是环，映射$h:R\to S$，满足：对任意的$a,b\in R$，有$$h(a+b)=h(a)\oplus h(b),h(a\cdot b)=h(a)\odot h(b)$$则称$h$是$<R,+,\cdot >$到$<S,\oplus ,\odot >$的环同态。
其中，$h(a+b)=h(a)\oplus h(b)$保证了$<R,+>$到$<S,\oplus >$的群同态，$h(a\cdot b)=h(a)\odot h(b)$保证了$<R,\cdot >$到$<S,\odot >$的半群同态，而且$h$保持了运算的分配律。


定义： 设$<D,+,\cdot >$是$<R,+,\cdot >$的子环，若对任意的$a\in R,d\in D$，都有$a\cdot d\in D$和$d\cdot a\in D$，则称$<D,+,\cdot >$是$<R,+,\cdot >$的理想。
显然$D=R$和 D = { 0 } D=\{0\} D={0}都是$R$的理想，称为平凡理想。


定理： 环$<R,+,\cdot >$的子集$<D,+,\cdot >$是理想的充要条件如下：
（1）对任意的$a,b\in D$，$a-b\in D$。
（2）对任意的$r\in R$和任意的$a\in D$，有$ra\in D$。


定理： 设$<D,+,\cdot >$是$<R,+,\cdot >$的理想，定义$<\frac{R}{D},\oplus ,\odot >$如下： R D = { a + D ∣ a ∈ R } ( a + D ) ⊕ ( b + D ) = ( a + b ) + D ( a + b ) ⊙ ( b + D ) = ( a ⋅ b ) + D \frac{R}{D}=\{a+D|a \in R\} \quad (a+D)\oplus(b+D)=(a+b)+D \quad (a+b)\odot (b+D)=(a \cdot b)+D DR​={a+D∣a∈R}(a+D)⊕(b+D)=(a+b)+D(a+b)⊙(b+D)=(a⋅b)+D则$<\frac{R}{D},\oplus ,\odot >$是环，称为$R$关于$D$的商环。
当$R$是交换环或有单位元时，$\frac{R}{D}$也是交换环或有单位元。


定理： 设$h$是环$R$到环$R^{\prime }$的同态，则$h$的核$ker(h)$是$R$的理想。反过来，如果$D$是环$R$的理想，则$s:R\to \frac{R}{D}$，$s(a)=a+D$是核为$D$的同态，称为$R$到$\frac{R}{D}$的自然同态。


定理： 设$h$是环$R$到环$R^{\prime }$的满同态，则存在唯一的$\frac{R}{ker(h)}$到$R^{\prime }$的同构$$f:r+ker(h)\to h(r)$$使得$h=f\circ s$，其中$s$是$R$到$\frac{R}{ker(h)}$的自然同态。

3 多项式环

概念：
定理： 设$f(x)\in R[x]$。
（1）$\alpha \in F$是$f(x)$的根，当且仅当$(x-a)|f(x)$。
（2）若$degf=n$，则$f(x)$至多有$n$个根。


定理： 设$f(x),g(x)\in R[x]$，$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +a_{1}x+a_0，g(x)=x^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdot \cdot \cdot +b_{1}x+b_0,m\ge 1$$则一定存在$q(x),r(x)\in R[x]$，使得$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$，其中$degr<degg$。


定义： 在上述定理中，如果$r(x)=0$，即$f(x)=q(x)g(x)$，就称$g(x)$整除$f(x)$，记为$g(x)|f(x)$，称$g(x)$是$f(x)$的因式，$f(x)$是$g(x)$的倍式。


定义： 设$f(x)\in R[x]$，如果$f(x)$的因式除了$1$和自己外，没有其他因式，则称$f(x)$为不可约多项式。


定义： 设$f(x),g(x)\in R[x]$，满足以下两个条件的$d(x)\in R[x]$称为$f(x)、g(x)$的最大公因式：
（1）$d(x)|f(x),d(x)|g(x)$。
（2）若$h(x)|f(x),h(x)|g(x)$，则$h(x)|d(x)$。
$f(x)、g(x)$的最大公因式记为$(f(x),g(x))$。
设$f(x),g(x)\in R[x]$，满足以下两个条件的$D(x)\in R[x]$称为$f(x)、g(x)$的最小公倍式：
（1）$f(x)|D(x),g(x)|D(x)$。
（2）若$f(x)|h(x),g(x)|h(x)$，则$D(x)|h(x)$。
$f(x)、g(x)$的最小公倍式记为$[f(x),g(x)]$。


定理： 在多项式广义Euclid除法中，$(f(x),g(x))=r_k(x)$。且存在$s(x),t(x)\in R[x]$，使得$$s(x)f(x)+t(x)g(x)=(f(x),g(x))$$


引理： 对任意的$f(x)\in F_p[x]$，$f(x)$的所有倍式构成的集合$I_f[x]$是$<F_p[x],+,\cdot >$的理想。


定理： 设$n$次多项式$f(x)\in F_p[x]$是不可约的，则以$f(x)$为模构成的多项式商环是一个有$p^n$个元素的有限域，记为$GF(p^n)$。

例题：
例1：



例2：



例3：