请用数学原理证明E[max(Z1,...,Zd)] >=max(x1,...,xd)

原创于 2023-02-18 20:22:10 发布 · 189 阅读

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文章通过数学归纳法证明了一个关于随机变量期望值的不等式：对于n大于等于2，若E[max(Z1,...,Zn-1)]大于等于max(x1,...,xn-1)，则E[max(Z1,...,Zn)]也大于等于max(x1,...,xn)。证明过程中假设了E[max(Z1,...,Zn-1)]小于等于max(x1,...,xn-1)，并利用期望值的性质进行推导。

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用数学归纳法可以证明：对于任意n>=2，假设E[max(Z1,...,Zn-1)]≥max(x1,...,xn-1)，则E[max(Z1,...,Zn)]≥max(x1,...,xn)。为此，我们可以假设E[max(Z1,...,Zn-1)]≤max(x1,...,xn-1)，并证明E[max(Z1,...,Zn)]≥max(x1,...,xn)。根据定义，有：E[max(Z1,...,Zn)]=E[Z1]+...+E[Zn-1]+E[max(Zn,max(Z1,...,Zn-1))]根据假设，有：E[max(Z1,...,Zn-1)]≤max(x1,...,xn-1)，故：E[Z1]+..

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