LeetCode 48. Rotate Image（旋转图像）

给定一个 n × n 的二维矩阵表示一个图像。

将图像顺时针旋转 90 度。

说明：

你必须在原地旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要使用另一个矩阵来旋转图像。

示例 1:

给定 matrix = 
[
  [1,2,3],
  [4,5,6],
  [7,8,9]
],

原地旋转输入矩阵，使其变为:
[
  [7,4,1],
  [8,5,2],
  [9,6,3]
]

示例 2:

 

给定 matrix =
[
  [ 5, 1, 9,11],
  [ 2, 4, 8,10],
  [13, 3, 6, 7],
  [15,14,12,16]
], 

原地旋转输入矩阵，使其变为:
[
  [15,13, 2, 5],
  [14, 3, 4, 1],
  [12, 6, 8, 9],
  [16, 7,10,11]

]

 

分析：

题目意思很简单，很容易理解。如果题目不给限制，那么很好做，新建一个同样大小的二维数组，将每一个元素按照新的位置要求存入即可。但题目要求在原地完成，不创建新数组，当然也不能新建其他的存储元素的数据结构。这样一下子把题目提高了一大截。

既然是原地旋转，那我们就需要看一下每一个元素是如何移动的。
我们看示例1中给出的 3 * 3 的二维数组。
左上角的元素1，旋转之后再右上角，那么脚标的变化就是
[0][0] --> [0][2]
其他的元素以此类推的旋转：
[0][2] --> [2][2]
[2][2] --> [2][0]
[2][0] --> [0][0]

[0][1] --> [1][1]
[1][1] --> [2][1]
[2][1] --> [1][0]
[1][0] --> [0][1]

请在这个过程中找到换位的规律。

再看示例2中的 4 * 4 的二维数组。
[0][0] --> [0][3]
[0][3] --> [3][3]
[3][3] --> [3][0]
[3][0] --> [0][0]

[0][1] --> [1][3]
[0][2] --> [2][3]
[1][1] --> [1][2]

使用归纳法，我们可以发现规律：

[x][y] --> [y][n - 1 - x]

这样，我们得到任何一个元素，只需要根据它的两个脚标就可以得出它要去到哪个位置。

现在要选择移动的方法，可以使用临时变量temp来作为暂存变量，帮助换位置，但这样的速度较慢。建议使用异或的方法。

a = a ^ b
b = a ^ b
a = a ^ b

这种方法效率高，速度快。

好的，找到目的地的脚标后，准备好移动元素了。
那么如何移动？是用双重for循环，按照0到n-1的顺序让所有元素交换吗？这样是不行的。如果按照顺序那么[0][0]将会存放到[0][n-1]，那么[0][n-1]原本的值怎么办？当按照顺序遍历到[0][n-1]时，去哪里得到其原本的值。所以按照顺序遍历移位是不行的。

那么怎么办？仔细观察可以发现，一个矩阵里面，旋转会让4个元素互相到达对方的位置，可以把对应的4个元素归为一组。比如：
[0][0] --> [0][3]
[0][3] --> [3][3]
[3][3] --> [3][0]
[3][0] --> [0][0]
这是矩阵四个角的4个元素归为了一组，旋转图像就是它们的位置互换。我们可以利用这个规律，让矩阵一次把一组4个元素的位置全部换完，然后再进行下一组4个元素。

我们可以使用两两换位的方法完成，让一个元素连续换位置3次，就可以让4个元素都到达各自需要的地方。按照这个思路，那么不能按照顺时针方向的元素去交换，因为让一个元素按照顺时针方向交换位置3次，那么所有的元素都想逆时针方向旋转了90度，这不符合题意。只能按照逆时针方向交换位置3次。

那么顺时针方向脚标变化的规律是：

[x][y] --> [y][n - 1 - x]

可以得到逆时针方向脚标变化的规律是：

[x][y] --> [n - 1 - y][x]

原理图：

代码：

ublic static void rotate(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        for (int i = 0; i < n / 2; ++i) {
            for (int j = i; j < n - 1 - i; ++j) {
                int tmp = matrix[i][j];
                matrix[i][j] = matrix[n - 1 - j][i];
                matrix[n - 1 - j][i] = matrix[n - 1 - i][n - 1 - j];
                matrix[n - 1 - i][n - 1 - j] = matrix[j][n - 1 - i];
                matrix[j][n - 1 - i] = tmp;
            }
        }
    }