给定一个 n × n 的二维矩阵表示一个图像。
将图像顺时针旋转 90 度。
说明:
你必须在原地旋转图像,这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要使用另一个矩阵来旋转图像。
示例 1:
给定 matrix =
[
[1,2,3],
[4,5,6],
[7,8,9]
],
原地旋转输入矩阵,使其变为:
[
[7,4,1],
[8,5,2],
[9,6,3]
]
示例 2:
给定 matrix =
[
[ 5, 1, 9,11],
[ 2, 4, 8,10],
[13, 3, 6, 7],
[15,14,12,16]
],
原地旋转输入矩阵,使其变为:
[
[15,13, 2, 5],
[14, 3, 4, 1],
[12, 6, 8, 9],
[16, 7,10,11]
]
分析:
题目意思很简单,很容易理解。如果题目不给限制,那么很好做,新建一个同样大小的二维数组,将每一个元素按照新的位置要求存入即可。但题目要求在原地完成,不创建新数组,当然也不能新建其他的存储元素的数据结构。这样一下子把题目提高了一大截。
既然是原地旋转,那我们就需要看一下每一个元素是如何移动的。
我们看示例1中给出的 3 * 3 的二维数组。
左上角的元素1,旋转之后再右上角,那么脚标的变化就是[0][0] --> [0][2]
其他的元素以此类推的旋转:[0][2] --> [2][2]
[2][2] --> [2][0]
[2][0] --> [0][0]
[0][1] --> [1][1]
[1][1] --> [2][1]
[2][1] --> [1][0]
[1][0] --> [0][1]
请在这个过程中找到换位的规律。
再看示例2中的 4 * 4 的二维数组。[0][0] --> [0][3]
[0][3] --> [3][3]
[3][3] --> [3][0]
[3][0] --> [0][0]
[0][1] --> [1][3]
[0][2] --> [2][3]
[1][1] --> [1][2]
使用归纳法,我们可以发现规律:
[x][y] --> [y][n - 1 - x]
这样,我们得到任何一个元素,只需要根据它的两个脚标就可以得出它要去到哪个位置。
现在要选择移动的方法,可以使用临时变量temp来作为暂存变量,帮助换位置,但这样的速度较慢。建议使用异或的方法。
a = a ^ b
b = a ^ b
a = a ^ b
这种方法效率高,速度快。
好的,找到目的地的脚标后,准备好移动元素了。
那么如何移动?是用双重for循环,按照0到n-1的顺序让所有元素交换吗?这样是不行的。如果按照顺序那么[0][0]
将会存放到[0][n-1]
,那么[0][n-1]
原本的值怎么办?当按照顺序遍历到[0][n-1]
时,去哪里得到其原本的值。所以按照顺序遍历移位是不行的。
那么怎么办?仔细观察可以发现,一个矩阵里面,旋转会让4个元素互相到达对方的位置,可以把对应的4个元素归为一组。比如:[0][0] --> [0][3]
[0][3] --> [3][3]
[3][3] --> [3][0]
[3][0] --> [0][0]
这是矩阵四个角的4个元素归为了一组,旋转图像就是它们的位置互换。我们可以利用这个规律,让矩阵一次把一组4个元素的位置全部换完,然后再进行下一组4个元素。
我们可以使用两两换位的方法完成,让一个元素连续换位置3次,就可以让4个元素都到达各自需要的地方。按照这个思路,那么不能按照顺时针方向的元素去交换,因为让一个元素按照顺时针方向交换位置3次,那么所有的元素都想逆时针方向旋转了90度,这不符合题意。只能按照逆时针方向交换位置3次。
那么顺时针方向脚标变化的规律是:
[x][y] --> [y][n - 1 - x]
可以得到逆时针方向脚标变化的规律是:
[x][y] --> [n - 1 - y][x]
原理图:
代码:
ublic static void rotate(int[][] matrix) { int n = matrix.length; for (int i = 0; i < n / 2; ++i) { for (int j = i; j < n - 1 - i; ++j) { int tmp = matrix[i][j]; matrix[i][j] = matrix[n - 1 - j][i]; matrix[n - 1 - j][i] = matrix[n - 1 - i][n - 1 - j]; matrix[n - 1 - i][n - 1 - j] = matrix[j][n - 1 - i]; matrix[j][n - 1 - i] = tmp; } } }