算法设计与分析课程复习笔记7——动态规划

算法设计与分析课程复习笔记7——动态规划

动态规划

• 和分治法一样,是一种算法设计技术。
• 子问题非独立。
• 分治法通过递归方式解决性质相同的子问题，
  而动态规划每次解决一个子问题，并将结果存储在表格中。
• 用于优化类问题。

算法：

1. 描述最优解的结构特征
2. 定义最优解决方案的递归形式
3. 以自底向上的方式计算最优解决方案的值
4. 从计算信息构造出最优解决方案

装配线排程

$S_{1,1},S_{1,2},\dots \dots ,S_{1,n}；S_{2,1},S_{2,2},\dots \dots ,S_{2,n}$为两条装配线的工序站台
$a_{1,1},a_{1,2},\dots \dots ,a_{1,n}；a_{2,1},a_{2,2},\dots \dots ,a_{2,n}$为两条装配线的各站台工作时间
每条装配线的第j个站台的功能相同,但是效率不一致，即花费时间不同。
另外有上线时间$e_1,e_2$和下线时间$x_1,x_2$
以及从一条装配线变换到另一条装配线需要的时间$t_{1,1},t_{1,2},\dots \dots ,t_{1,n-1}；t_{2,1},t_{2,2},\dots \dots ,t_{2,n-1}$

问题：如何充分利用两条装配线,使得组装一辆汽车的时间最短?

解决方法：
1️⃣蛮力法
计算装配线排程所有可能的组合情况，比较并选择出最短时间的组合
2️⃣动态规划
【1】.构建最优解
考虑所有从起点到达$S_{1,j}$可能途径
只有两种可能：
①从$S_{1,j-1}$直接到$S_{1,j}$
②从$S_{2,j-1}$花费$t_{2,j-1}$时间转换到$S_{1,j}$

如果到达$S_{1,j}$的最快装配路线来自$S_{1,j-1}$那么必须是从装配线起点经过$S_{1,j-1}$的最快装配路线。$S_{2,j-1}$同理分析。

最优解的结构
寻求从起点到达$S_{1,j}$最快装配路线，可分解为寻求从起点经过$S_{1,j-1}$ or $S_{2,j-1}$ 最快装配路线问题。
我们将这种具有分解递归特征的解的形式称为最优化结构特征。
利用这种优化构造特征，从子问题的最优化解获得整个问题的最优化的解。

【2】.递归解
利用子问题的最优解，通过递归的方式求解原问题的最优解
$f\ast$为完成所有装配过程的最短时间。
$f_i[j]$表示从起点经过Si,j工序的最短时间.
$f\ast =min(f_1[n]+x_1,f_2[n]+x_{}$