牛客网编程题目：数列计算

数列计算

数列计算

题目描述

已知一个正整数n，(3 <= n <= 15)，将所有n的乘方幂以及所有n的乘方幂（有限个且互不相等）之和组成一个递增序列。例如，当n为4时，该序列为：
1, 4, 5, 16, 17, 20, 21……
(4⁰, 4¹, 4⁰+4¹, 4², 4⁰+4², 4¹+4², 4⁰+4¹+4²……)
请求出该序列的第K项(10进制)。

输入描述:
输入只有1行，为2个正整数，两数之间用一个空格隔开：
n K
(n, K的含义与上述描述一致, 且3<=n<=15, 10<=K<=1000)。

示例1
输入 3 100 输出 981

老规矩，先给代码，再说思路。

import math
a, n = list(map(int,input().split()))
k = int(math.log(n,2))
res = 0
for i in range(k,-1,-1):
    count = n // (2**i)
    if count == 1:
        res += a**i
    n %= 2**i
print(res)

首先应该从二进制的角度思考这道题目。如果你足够细心，你会发现我的代码其实就是实现了如下功能：
计算 n 的二进制中 1 出现的位置，记录下所有的位置，然后将进制改为我们题目给定的进制，也就是代码中的 a 。计算进制为 a 时，实现上述记录的位置的值，即为答案。

举个例子，比如14这个数，其二进制是 1110，如果题目给定的进制是4，那么最终给定的答案就是 4¹+4²+4³。 如果不相信的话，自己可以用规律写出前16个，自己比对即可。

哈，原来就是进制替换这么简单，那么代码不难写出，这就是算法的魅力。可是如何看透本质呢？首先，我们是人不是神，要先观察规律，我列了一个表格

1	2	3	4	5	6	7	8
0	1	0+1	2	0+2	1+2	0+1+2	3
9	10	11	12	13	14	15	16
0+3	1+3	0+1+3	2+3	0+2+3	1+2+3	0+1+2+3	–

第一行和第三行是索引，不过是从1开始计数的，第二行和第四行分别是对应的 幂次。如果你足够细心，你应该发现了一些规律：

1. 新的幂次 k 出现的次数是 2^k。比如幂次 2 ，在幂次 3 出现之前，出现了4次，再如幂次 3 ，出现了8次。
   这个规律有用在这个地方，当我们要计算第100个数时，我们可以将最高幂次求解出来，这只是个等比数列求和公式的运用。幂次的求解就是代码中的 k = int(math.log(n,2))。需要解释吗？自己列公式就明白了，这里的公式我不会打，最多只能截图，太麻烦放弃了。
2. 幂次的出现是嵌套的。比如新的幂次 2 出现时，除了新幂次，其余的幂次其实就是重复新幂次之前的幂次出现的顺序。同理，幂次 3 也是如此。
   这个规律有什么用呢？这恰恰就是进制位数的记录啊，这会难道还没发现幂次的记录其实就是依次递增数的二进制中1所在的位置吗？比如1，2，3，…这样一个递增的自然数列，每个数的二进制中1所在的位置的记录不就是上表中记录的吗 ？
3. 进制替换为题目中要求的进制。输出答案即可！

这道题目，我下次看到，可能也会陷入做不出来的尴尬状态。算法题目，尤其是数学规律，需要长时间的实践和积累才能熟能生巧。没有天生的智者，只有偷懒的傻瓜。一天一篇博客，且行且珍惜！