高等数学—常见三角函数

1、三角函数

\large cscx = \frac{1}{sinx}                  \large secx = \frac{1}{cosx}                     \large cotx = \frac{1}{tanx}

\large (secx)^2+1=(tanx)^2

2、诱导公式

\large sin(-a) = -sin(a)           \large cos(-a) = cos(a)                     \large tan(-a)=-tan(a)

\large sin(\frac{\pi }{2}-a) = cos(a)         \large cos(\frac{\pi }{2}-a) = sin(a)

\large sin(\frac{\pi }{2}+a) = cos(a)         \large cos(\frac{\pi }{2}+a) = -sin(a)

\large sin(\pi-a) = sin(a)          \large cos(\pi-a) = -cos(a)

\large sin(\pi+a) = -sin(a)       \large cos(\pi + a) = -cos(a)

3、两角和公式

\large sin(A \pm B ) = sinA \cdot cosB \pm cosA \cdot sinB

\large cos(A \pm B ) = cosA \cdot cosB \mp sinA \cdot sinB

\large tan(A \pm B ) = \frac{tanA \pm tanB}{1 \mp tanA \cdot tanB}

4、二倍角公式

\large tan2A = \frac{2tanA}{1 - (tanA)^{2}}

\large sin2A = 2sinA \cdot cosA

\large cos2A = (cosA)^{2} - (sinA)^{2} = 2(cosA)^{2} -1 = 1 - 2(sinA)^{2}

5、半角公式

\large sin\frac{A}{2} = \frac{1-cosA}{2}

\large cos\frac{A}{2} = \frac{1 + cosA}{2}

\large tan\frac{A}{2} = \frac{1-cosA}{1 + cosA}

6、和差化积

\large sinA + sinB = 2sin( \frac {A+B}{2} ) \cdot cos( \frac {A - B}{2} )

7、积化和差

\large sinA \cdot sinB = -\frac{cos(A+B) -cos(A-B) }{2}

\large cosA \cdot cosB = \frac{cos(A+B) + cos(A-B) }{2}

### 高等数学中的三角函数公式及其应用场景 #### 基本三角函数公式 在高等数学中,三角函数是一类重要的基本初等函数。以下是几个常见三角函数公式: 1. **正弦与余弦的关系** \[ \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \] 这一恒等式描述了单位圆上的几何关系[^1]。 2. **两角和差公式** - 正弦的两角和差公式: \[ \sin{(a+b)} = \sin{a}\cos{b}+\cos{a}\sin{b} \] - 余弦的两角和差公式: \[ \cos{(a-b)} = \cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b} \] 3. **倍角公式** - 正弦的倍角公式: \[ \sin{2x}=2\sin{x}\cos{x} \] - 余弦的倍角公式: \[ \cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x} \] 4. **积分公式** 对于三角函数的不定积分有如下常见形式: \[ \int{\cos{x}}dx = \sin{x}+C \][^2]. #### 应用场景分析 ##### 场景一:物理学中的振动与波动现象建模 三角函数广泛应用于物理领域来描述周期性的运动或变化过程。例如,在研究弹簧振子或者电磁波传播时,位移随时间的变化规律可以用正弦或余弦表示。 ##### 场景二:工程学中的信号处理 傅里叶变换是一种利用三角函数作为基底分解复杂信号的方法。通过这种技术可以将复杂的非周期信号转化为一系列简单的频率成分之和,从而便于进一步分析和处理。 ##### 场景三:计算机图形学中的旋转操作 在三维空间内实现物体绕某个轴线转动的操作需要用到矩阵乘法配合特定角度下的sine 和 cosine 计算得出新坐标位置[^3]。 ```python import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt theta=np.arange(0.,2.*np.pi,.1) plt.plot(np.sin(theta),label='Sine Wave') plt.legend() plt.show() ``` 上述Python代码展示了如何绘制标准正弦曲线图象,这有助于直观理解其形态特征以及参数调整带来的影响效果。
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