稠密集和疏朗集_拓扑动力系统(2): 极小集, Birkhoff定理, ω极限点

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#稠密集和疏朗集

本文介绍了拓扑动力系统中的极小集概念，阐述了极小集的特性，包括其不含真不变闭子集、轨道稠密等，并通过Birkhoff定理探讨了系统的性质。同时，讨论了圆周旋转的例子，以及有理数和无理数的稠密性在动力系统中的应用。

内容提要:

1 极小集; 2

极限点; 3 关于稠密性的结论补充; 本文主要参考文献.

本文的前置内容为:

格罗卜学数学：拓扑动力系统(1): 基本概念, Li-Yorke定理和Sharkovskii定理

本文之后请继续食用:

格罗卜学数学：拓扑动力系统(4): 拓扑熵

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设

是一个

紧致Hausdorff空间,

是

连续映射,

上的连续自映射序列

称作

上由连续自映射

经迭代而生成的

紧致拓扑离散半动力系统 , 简称紧致系统, 记为

1 极小集, Birkhoff定理

1-1. [极小集] 称

是极小集. 如果满足如下等价条件之一:

(1)
不包含任何真不变闭子集;
(2)
,
, 即
中每一点的轨道都在
中稠密;
(3) 对于每个非空开集
, 存在有限子集
, 使得
.

[证明] (1)
(2) 显然.

(1)
(3) 设
. 那么
为闭不变的. 根据假设
. 根据
的紧致性,就有(3)成立.

(3)
(1) 设
为非空闭不变的. 那么
为开集并且
. 如果
, 那么
. 由假设, 存在有限子集
, 使得
. 于是
, 矛盾! 因此
, 证毕.

由定义知道, 极小系统不能有非平凡的子系统. 特别地, 若底空间是无限集合, 则极小系统不能有周期点.

1-2. [极小子集] 如果子系统

是极小的, 则称

的子系统

是

极小的. 如果一个包含在某个极小集中, 我们就称它为极小点.

1-3. 如果两个子集

都是极小集, 那么或者

, 或者

[证明] 由极小集的等价定义(2), 显然.

1-4. [重要定理]

是

紧致系统, 并且

是

第二可数的, 那么

存在极小集.

[证明] 设
是可数拓扑基. 设
.

对于
如果
, 则令
; 否则令
.

易见
为闭不变的. 设
, 那么
为非空闭不变的. 而且对每个满足
的
, 有
. 因此
为极小集.

1-5. [回复点] 对于

, 如果存在正整数递增序列

, 使得

则称

是

的一个

回复点. 以

记

全体回复点的集合.

1-6. 每个极小点为回复点.

[证明] 根据定义立即看出.

1-7. [Birkhoff定理]

是

紧致系统, 并且

是

第二可数的, 那么

[证明] 由1-4和1-6.

1-8. [例子: 圆周旋转] 设

是单位圆周,

是无理数. 定义

为

那么

是极小系统.

[证明] 对于任意
, 有
.

因为
在
稠密(在本节末尾证明), 所以
在
中稠密. 这里
是向下取整符号.

极限点

2-1. [

极限点]

设

. 如果存在正整数递增序列

, 使得

, 则称

是

的一个

极限点. 以

记

全体

极限点的集合. 称为

它的

极限集.

2-2. 当

是

的

周期点时, 显然

[证明] 显然.

2-3.

[证明]
对于任意的
,
,
对于任意的
, 对于任意
的开邻域
,
,
对于任意的
, 对于任意
的开邻域
,
,
对于任意的
, 对于任意
的开邻域
, 存在
, 使得
,
.

2-4. 设

. 则

是

的非空闭子集.

[证明] 由于
的紧致性,
是
的非空子集. 再根据2-3, 知道
是闭的.

[注]

限制在

极限集上的子系统是最重要的子系统.

2-5. 设

. 则

[证明] 这可以直接从定义证明.

2-6. [回复点] 对于

, 如果存在正整数递增序列

, 使得

, 则称

是

的一个

回复点. 以

记

全体回复点的集合.

2-7. 设

.则

[证明] 这个命题直接由定义看出.

2-8.

极限点不必为回复点.

[反例] -----xxxxxxxxx---------.

3 关于稠密性的结论补充

3-1. [有理数的稠密性]

, 并且

, 那么存在

, 使得

[证明]
, 所以存在
, 使得
,

因此
.

易知存在整数
:
, 从而
.

结合以上讨论, 我们有
, 因此
, 其中
是有理数.

3-2. [无理数的稠密性]

, 并且

, 那么存在

, 使得

[证明] 由于
, 所以存在有理数
, 使得
,

如果
, 那么
是无理数.

如果
, 对
重复上述讨论.

3-3. 对任意的

, 任意的

, 存在

, 使得

[证明] 取
即可.

3-4. 对任意的

, 任意的

, 存在

, 使得

[证明] 考虑
个实数
(
),

由于
, 所以在这
个实数中必有两个数, 其绝对值之差小于
,

不妨设
, 其中
.

令
,
, 那么
, 并且
.

3-5. 对任意的

, 存在无穷多个有理数

(

), 使得

[证明] 反证. 假如只存在有限个(
个)符合条件
(
).

令
.

取整数
, 并且作整数
(
), 满足
,

那么
,

于是
, 矛盾.

3-6. 对任意的

在

稠密.

[证明] 对于任意的
, 任意的
, 存在
(
), 使得
.记
, 则在
中必有
中的点.

3-7. 对任意的

在

稠密.

[证明] 对任意的
,
在
稠密. 对于
的取值分三种情况:

(A) 对于任意的
, 任意的
, 不妨设
, 并且
, 存在
, 使得
. 这等价于
, 即
.

这说明
.

(B) 对于
, 对于任意的
, 存在
, 使得
.

这等价于
, 即
.

这说明
.

(C) 对于
, 对于任意的
, 存在
, 使得
.

这等价于
, 即
.

这说明
.