严格对角占优矩阵特征值_矩阵特征值是这么来的，以及有趣的盖尔圆

正如前面的篇章所言，由求解线性代数方程组引发了一系列有关行列式与矩阵的研究。

然而，矩阵与矩阵代数的理论与其他方面的一些研究也有关系，比如线性微分方程组、二次型等主题。

本篇将探讨的矩阵特征值与特征向量就是从这两个主题引发的，对历史考古感兴趣的可以看下面这一篇。

矩阵特征值的故事 - 缘起琴弦

线性微分方程组

考虑求解两个一阶线性微分方程组的问题，

可以用矩阵表示为，

或者简写为，

其中 ，以及 。

由于单个方程 的解的形式为 ，因此我们不妨也来设想一下式 具有类似下面这种形式的解，

微分这两个表达式并将结果代入式 得，

注意每个方程左右两边的相同项 ，

消去后得，

写成矩阵的形式，得

总结一下以上过程，

换句话说，只要可以找到矩阵方程 的解，即 和 的话，就可以为式 构造具有式 这种形式的解。

显然， 满足 ，但是 没有提供有关式 的有用解。

如 所示，真正重要的是求出非零向量的解。

但是，当且仅当矩阵 奇异时， 才包含非零向量。

因此，感兴趣的值恰好是使矩阵 成为奇异矩阵的那些 的值，或者等效地使 的那些 。

正是这些观察引发了特征值和特征向量的定义。

久期方程

物理中经常会导出关于 个变量 的一个二次型的极值问题，如

要求服从如下约束，

其中 是常量()。例如，我们取 ，

此时约束为 。

作为拉格朗日的高徒，柯西自然会熟练使用拉格朗日乘子法，通过引入辅助函数

并求解方程组来获得极值。为了便于说明，我们取 ，有

这里，二次型可