CF741D Arpa’s letter-marked tree and Mehrdad’s Dokhtar-kosh paths (dsu on tree) 题解

本文介绍了一种优化后的DSU算法,用于解决子树众数问题。通过对每个节点只保留一个子节点的方式,优化了时间复杂度至O(nlogn)。文章详细解释了算法原理及其优化过程。

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先说一下dsu算法。

例题:子树众数问题。

给出一棵树,每个点有点权,求每个子树中出现次数最多的数的出现次数。

树的节点数为n,n500000n≤500000

这个数据范围,O(nn)O(nn)直接莫队会超时。

考虑一种暴力做法:

开一个全局数组,记录每中数的出现次数。

依次对每个点,用dfs遍历它的子树,并记录每种数的出现次数。

遍历结束后,找到众数,记录结果,并清空这个数组,进行下一次遍历。

可以发现,在最坏情况(例如一条链),算法的时间复杂度是O(n2)O(n2)的。

但是,对于一条链,只要从下至上扫描一遍,就能得出解。

而这样就相当于子树统计后的数组没有清空,而是留给了父节点。

所以,考虑这种优化:

(除根以外)每个结点都有它的父节点,所以,其实无须清空数组,直接留给父节点就行。

但是,如果一个节点的所有子结点都不删除,会很费空间,而且,我们还要将这些子树信息都合并,而合并也是O(n)O(n)的,每个节点都要合并,所以总复杂度还是O(n2)O(n2)的。

所以,对于每个节点,只能保留一个子结点,其余的还要清空。

为了使效率最高,应该保存子结点数量最多的儿子(即重儿子)。

优化后的时间复杂度:

每个节点,只有在祖先结点到父亲的是轻边时,才会被计算,所以每个最多会算O(logn)O(log⁡n)次。总时间复杂度就优化到了O(nlogn)O(nlog⁡n)

要自底向上遍历每个节点。对于每个节点,先遍历轻儿子,再遍历重儿子,最后计算它自己。

如果它到父亲的是轻边,就清空数组,否则不清空。

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