动态规划算法

一、动态规划题目特点

1、计数

• 有多少种方式走到右下角
• 有多少种方法选出k个数使得和是sum

2、求最大值最小值

• 从左上角走到右下角路径的最大数字和
• 最长上升子序列长度

3、求存在性

• 取石子游戏，先手是否必胜
• 能不能选出k个数使得和是sum

二、动态规划题目解法组成部分

组成部分一：确定状态

• 状态在动态规划中的作用属于定海神针
• 简单的说，解动态规划的时候需要开一个数组，数组的每个元素 f[i] 或者 f[i][j] 代表什么
  –类似于解数学题中，X、Y、Z的代表什么
• 确定状态需要两个意识
  –最后一步
  –子问题

举个例子：现有三种硬币，面值分别为2、5、7，每种硬币足够多。现在买一本书需要27元，如何用最少数量的硬币组合正好付清，不需要对方找钱？
解：




如果这个问题用递归解法：

组成部分二：转移方程

组成部分三：初始条件和边界情况
组成部分四：计算顺序

三、例题

存在性问题一
问：有n块石头分别在x轴的0，1，…，n-1位置。一只青蛙在石头0上面，想跳到石头n-1上面；如果青蛙在第i块石头上，它最多可以向右跳距离ai。青蛙能否跳到石头n-1上面？

• 例子1：
  – 输入a = [2,3,1,1,4]
  – 输出 True
• 例子2：
  – 输入a = [3,2，1,0，4]
  – 输出 False

解：
首先确定状态：
然后化成子问题：
构建转移方程：
分析初始化条件和边界情况：
选择计算顺序：