线性代数的本质学习日记01-04

数字即标量 标量与向量

• 将每一个左边看作一个标量
  每一个标量拉伸或者压缩一个向量
  每当我们用数学描述向量时，它都依赖于我们正在使用的基
  对二维平面的基“缩放向量并且相加”

• Linear combination

• The “span” of v and w is the set of all their linear combinations.
  张成的空间
  二维向量的集合或者终点落在一条直线上的向量的集合（共线）

• 用向量的终点代替该向量（它的起点仍然位于原点）
  以上对二维空间的两个向量：该平面本身或者该直线

• v and w are “Linear dependent”：即对张成空间无作用

矩阵和线性变换

• Linear transformation
  向量输入>>L(v)>>向量输出
  类似于Linear function 函数

• Linear
  直线依旧是直线
  原点保持固定
  得到>>网格线保持平行且等距分布 Gird lines remain parallel and exenly spaced.
  得到>>有变换前i和j确定的线性组合，那么变换后的向量v也是变换后的i和j的同样的线性组合。

• 一个二维线性变换仅由四个数字确定
  变换后i的两个坐标
  变换后j的两个坐标

• 如果变换后的i和变换后的j是线性相关的
  线性变换将整个二维空间挤压到它们所在的一条直线上
  即两个线性相关的向量所张成的一维空间。

矩阵乘法与线性变换复合

• “Composition”:First rotation then shear 先旋转后剪切
  [剪切矩阵][旋转矩阵][输入变量]=[复合矩阵][输入变量]=[输入变量]
  从右到左计算（如函数f(g(x))=y）

• 矩阵结合律:(AB)C=A(BC) 括号与结果无关
  因为即为将同样的三个变换用同样的顺序依次作用
  C>>B>>A

• 附注一：三维空间中的线性变换