使用BIT(Binary Indexed Tree)求数组里的逆序对

给定一个整数数组A，如果对于

i != j && i < j && A[i] > A[j]

就称i和j为一个逆序对。使用分治思想改写归并排序算法是最容易理解的O(nlog(n))的求逆序对的算法。使用BIT也可以达到O(nlog(n))，但是难以理解一些。先把代码贴在这里：

const int MAX_N = 1000;
int bit[MAX_N + 1], n;

int sum(int i) {
	int s = 0;
	while (i > 0) {
		s += bit[i];
		i -= i & -i;
	}
	return s;
}

void add(int i, int x) {
	while (i <= n) {
		bit[i] += x;
		i += i & -i;
	}
}

int a[4] = { 3, 2, 1, 4 };
void solve() {
	ll ans = 0;
	for (int j = 0; j < n; j++) {
		ans += j - sum(a[j]);
		add(a[j], 1);
	}
	cout << ans << endl;
}

对于BIT不了解的读者可以找一本书先了解一下，这里的代码来自于《挑战程序设计竞赛》。我们这里仅仅解释为什么main函数里的逻辑可以求得逆序对。首先我们看到在for循环结束前a[j]加了一，那么如果数组A完全是顺序排列的，我们可以预料到下一次循环，sum(a[1])的结果应该为一。但是如果出现了一个逆序对，我们会发现a[1]的值仍然为零，这时j-sum(a[j])的值就是j之前的逆序对的数量。所以for循环之后我们就得到了位置0，1，...，n-1之前的所有逆序对的和，就是答案。但是我们发现如果我们的数组不是1,2,...,n取值的，我们必须先进行处理。比如[5, 6, 2, 8]，要被normalize成为[3,2,1,4]才可以。但是使用归并排序的算法计算逆序对是不需要normalize的。