《Reconstruction of Chaotic Signals with Applications to Chaos-Based Communications》（持续更新...）

第一章   混沌与通信

传统上，信号（包括需要的信号和干扰信号）被划分为两个广泛定义的类，即随机和确定性。随机信号是随机波形的组合，每个分量都由一个潜在的概率分布定义，而确定性信号是由确定性动力系统产生的，这些系统可以产生许多不同的稳态行为，包括DC、周期和混沌解。确定性信号可以用微分方程或差分方程进行数学描述。决定于它们是在连续时间还是离散时发生进行的。

DC是一种非振荡状态。周期行为是最简单的稳态振荡运动，正弦信号是连续时间确定性动力的周期解，在模拟和数字通信中普遍用作载波。

确定性系统也承认一类非周期信号，其特征是一个连续的“噪声样”宽功率谱。这就是所谓的混沌。

从历史上看，至少有三项成就对于将混沌通信作为一个值得关注和利用的领域，起到了至关重要的推动作用。

第一个是在20世纪80年代早期，对一些表现出混乱行为的电子电路的实现和特性的描述。这将混沌系统从数学抽象引入电子工程中。

导致利用混沌通信的第二个历史事件是，Pecora（佩科拉）和Carroll（卡罗尔）在1990年观察到两个混沌系统可以在适当的耦合或驱动条件下同步。这表明混沌信号可以被用于通信，在那里它们的噪声宽带性质可以提高抗干扰性和安全性。

第三个，也是最基本的一步，是对非线性（混沌）共同体的认识，混沌系统享有一个混合的确定性/随机性类型。数学家们至少在20世纪70年代早期就知道了这一点，这一理论的先进方法最近被纳入了基于混沌的通信工程的工具中。这些工具在开发用于设计符合常用工程规范的混沌系统所需的定量模型方面也至关重要。

本章的目的是对混沌通信理论的背景做一个简要的回顾。基于几个动态不变量，我们将定量描述混沌系统，并总结混沌的基本性质，使其在通信应用中成为扩频载波。此外，混沌同步使基于混沌的通信使用传统的相干方法成为可能。在本章的剩余部分，我们将回顾几种基本的混沌同步方案，以及几种基于混沌的通信方案。最后，还会讨论一些基于混沌通信的公开问题。

 

1.1 历史事件

 

1831年，法拉第研究了一个垂直振动频率为的容器中的浅水波。在实验中，他观察到在特定条件下，次谐波运动在振动频率的一半（/2）突然出现。这个实验后来被Lord Rayleigh（瑞利勋爵）重复了一遍，他在1877年发表的经典论文《声音理论（Throry of Sound）》中讨论了这个实验。这个实验从六十年代起就被反复研究，研究人员重新开始这项实验的原因是，次谐波运动突然出现常常预示着混乱的开始。

庞加莱在状态矢量空间中发现了今天所谓的同宿轨道。1892年，他把发现发表在了他关于天体力学的三卷著作中。直到1962年，Smale（施梅尔）才证明庞加莱的同宿轨道是混沌极限集。

在1927年，Van der Pol（范德堡尔）和Van der Mark（范德马克）研究了由正弦电压源驱动的氖管RC振荡器的行为。他们发现，通过增加电路中的电容，在响应中驱动频率会发生快速变化，例如从到/2，然后到/3等等。这些频率的快速变化被观察到，或者更准确的说，是通过电话接收机听到的。他们发现这种频率分解的过程（他们称之为频率分解）最终会导致不规则的噪声。是事实，用今天的语言来说，他们的观察结果是由分歧和混乱造成的。1944年，Levinson（莱文森）推测Birkhoff的惊人的曲线可能出现在某些三阶系统的行为中。这个猜想在1949年被Levinson证实。

Brikhoff在1931证明了他著名的遍历定理，他还发现了他所谓的显著曲线和粗曲线，这也是Charpentier在1935年研究的。后来，这些被证明是离散时间系统的一个混沌吸引子。这些曲线也被发现在一维和二维之间是不规则的。

Chaundy和Phillips在1936年研究了用二次递推公式定义的序列的收敛性。基本上，他们研究了数理逻辑图形，引入了序列不合理振荡的术语。今天这被称为混沌振荡。

受Van der Pol（范德堡尔）和Van der Mark（范德马克）发现的启发，两位数学家Cartwright和Littlewood对Van der Pol（范德堡尔）和Van der Mark（范德马克）早先研究的系统进行了理论研究。在1945年，他们发表了一份校样结果，证明了驱动Van der Pol（范德堡尔）系统可以呈现非周期表现的结果。后来，Levinson将这些解称为奇异行为。

Melnikov在1963年介绍了混沌系统的摄动方法，该方法主要应用与驱动动力系统。

在1963年，气象学家Lorenz研究了一个热对流数值简化模型。这个模型（今天称为洛伦茨模型）由三个非线性耦合的常微分方程的完全确定性系统组成。他发现，这个简单的确定性系统在响应中表现出不规则的波动，而系统中没有引入任何随机的外部因素。

Cook和Roberts在1970年发现了Rikitake双盘发电机系统所表现出的混乱行为。这是地球磁场时间演化的结果。

1971年，Ruelle和Takens引入了耗散动力系统的奇异吸引子这一术语。他们还提出了一种新的流体动力学上的湍流启动机制。

在1975年，Li和Yorke为一维变换正式定义了混沌。他们进一步提出了所谓的“Li-Yorke混沌”在一维映射中的充分条件。1976年，May注意到一些非常简单的种群模型表现出的非常复杂的行为，包括倍周期分岔和混沌。1978年，Feigenbaum在一维映射中发现了缩放性质和通用常数（Feigenhaum’s number）。在此基础上，提出了混沌系统重正化群的概念。1980年，Packard et al.介绍了利用所谓的延迟坐标建立状态。这项技术是在坚实的数学基础上由Takens建立的，1983年，Chua发现了一种简单的电子电路来合成特定的三阶分段线性常微分方程。这条线路被称为Chua的电路（见下一章）。使这个电路如此引人注目的是它的动力学方程已被证明在严格意义上表现出混沌。Ott，Grebog和Yorke在1990年提出了一种控制嵌入在混沌吸引子中的不稳定轨迹的方法。

与此同时，又有一系列事件导致了混乱。这是对经典力学的非可积哈密顿系统的研究。这一研究导致了20世纪60年代早期科尔莫戈洛夫-阿诺德-莫瑟（KAM）定理的形成和证明。数值研究表明，当KAM定理所描述的条件失效时，非可积哈密顿系统会表现出随即行为。

备注：今天，在生物系统、气象学、宇宙学、经济学、人口动力学、化学、物理、机械和电子工程等许多领域都发现了混沌。研究方向从寻找混沌存在的证据转向应用和深入的理论研究。

 

1.2 混沌0

 

对于动力学系统，混沌有很多可能的定义，其中Devaney的定义（离散时间系统）是一个非常流行的定义，因为它适用于大量重要的例子。

定理 1.1

设Ω为一个集合，：Ω→Ω被定义为在Ω上是混沌的，如果：

1. 对初始条件有敏感的依赖性，即存在δ>0，这样，对于任意的x∈Ω和x的邻域，存在y∈和n≥0，这样||＞δ；
2. 是拓扑可传递的，即但对于任意一对开集，∈Ω存在＞0，这样；
3. Ω中的周期点是稠密的

 

1.3 量化混沌行为

 

李雅普诺夫指数、熵和维数通常被用来量化（描述）一个混沌吸引子的行为。李雅普诺夫指数表示状态矢量空间中混沌吸引子的收敛和发散的平均速率。柯氏熵（Kolmogorov Entropy，KE）常用来揭示沿吸引子的信息丢失率。维数是用来量化混沌吸引子的几何结构的。

 

1.3.1 连续时间非线性系统的李雅普诺夫指数

 

李亚普诺斯指数的计算在一个可能的混沌系统的分析中很重要，因为李雅普诺夫指数不仅定性的显示了对初始条件有敏感的依赖性，而且还定量地测量了吸引子上附近轨迹的平均分离率或吸引率。在这里，我们只陈述了连续时间和离散时间（见下一小节）非线性系统的李雅普诺夫指数的定义。关于计算李雅普诺夫指数的各种算法的更详细的描述见参考文献【23-33】。

在伸展方向上，两个邻近的轨迹发散；在压缩方向上，两个邻近的轨迹会收敛。如果我没有指数函数近似地描绘这个离散和收敛，伸展和压缩的速率将被指数化，这些叫做李雅普诺夫指数。

（如有错误，欢迎各位指正...）