求x/y%mod

0. 前言

写这个文章是因为遇到一些题，要求解$x/y\%mod$, 其中$mod=1e9+7$, $x,y$都很大。不能直接求。 当然，第一次总是不会做的， 然后就查资料呗。

1. 逆元定义

我们要求问题$x/y\%mod$, 如果我们找到这样一个数$\hat{y}$, 满足$x\ast \hat{y}\%p=x/y\%p$。 那么， 我们的问题就解决了。 这个$\hat{y}$就是$y$关于$mod$的逆元。满足定义：
$$y\ast \hat{y}\equiv 1\%p$$

1.1 用费马小定理求解

另外，还有两种常见的解法是枚举法和拓展欧几里得法，但是不常用。一般都用这个。下面是费马小定理的定义:

1. 设 $0<x,y<p$, $p$是素数。
2. 如果$a$, $p$互质，则：$a^{p-1}\equiv 1\%p$, $a\ast a^{p-2}\equiv 1\%p$, 这样我们就找到了$a$关于p的逆元为$a^{p-2}$。
3. 那么，我们的问题就解决了， $$x/y\%p=x\ast y^{p-2}\%p$$

1.2 编程实现

1. 用快速幂来求$y^{p-2}$.

    ll qmi(ll x, ll y){
        if( y == 0) return 1;
        if(y == 1) return x;
        ll ret = qmi(x, y / 2);
        if(y % 2==0) return ret * ret % mod;
        return ret % mod * ret % mod * x % mod;
    }

1.3 例题

1. Leetcode 1569

3. 扩展

3.1 Lucas 定理

设： $n=s\ast p+q$, $m=t\ast p+r$, $(q,r\le p)$。有:
$$\left(\begin{array}{l}sp+q\\ tp+r\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{l}s\\ t\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}q\\ r\end{array}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(p))$$

3.1.2 Lucas 定理证明

首先你需要这个算式:
$$\left(\begin{array}{c}p\\ f\end{array}\right)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(p))$$
其中: f $>0\&\&f<p$, 然后
$$(1+x{)}^n\equiv (1+x{)}^{sp+q}\equiv {\left((1+x{)}^p\right)}^s\cdot (1+x{)}^q\equiv {\left(1+x^p\right)}^s\cdot (1+x{)}^q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
$$\equiv \sum _{i=0}^s\left(\begin{array}{l}s\\ i\end{array}\right)\cdot x^{i\cdot p}\cdot \sum _{j=0}^q\left(\begin{array}{l}q\\ j\end{array}\right)\cdot x^j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
所以得:
$$(1+x{)}^{sp+q}\equiv \sum _{i=0}^s\left(\begin{array}{l}s\\ i\end{array}\right)\cdot x^{i\cdot p}\cdot \sum _{j=0}^q\left(\begin{array}{l}q\\ j\end{array}\right)\cdot x^j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

3.1.3 例题

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