线性代数知识点总结

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线性代数知识点总结

行列式

行列式和它的转置行列式相等
对换行列式的两行（列），行列式变号
如果行列式中有两行（列）相同或成比例，那么此行列式等于0
行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式
把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

矩阵

由mxn个数 $a_{ij}$ 排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称mxn矩阵，为表示他是一个整体，总是加一个括弧，用大写黑体字母表示它，这mxn个数是矩阵A的元素，简称为元。
行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。
只有一行的矩阵叫行向量，只有一列的矩阵叫列向量。元素都是0的矩阵叫零矩阵。
对于非齐次线性方程组，有系数矩阵，未知数矩阵，常数项矩阵，增广矩阵。
从左上角到右下角的直线以外的元素都是0，这种矩阵叫对角矩阵，对角线上都是1，叫单位矩阵。
矩阵加法满足交换律和结合律
A（mxs）、B(sxn)，矩阵A乘矩阵B的乘积为矩阵C（mxn）。
矩阵乘法满足结合律和分配律
EA = AE = A （E为单位矩阵）
$λ\lambda$ E 称为纯量阵
矩阵的幂： $A^k$ ，显然只有方阵的幂才有意义
矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 $A^T$
性质：
1. $A^T)^T = A^T$
2. $A + B)^T$ = $A^T$ + $B^T$
3. $AB)^T$ = $B^T$ $A^T$
由n阶方阵A的元素所构成的行列式，称为方阵A的行列式，记作det A或 |A|
|AB|=|BA|
行列式|A|的各个元素的代数余子式构成的矩阵叫A的伴随矩阵A*
A A* = A* A= |A| E
对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，sit：
$A B = B A = E$

则说矩阵A是可逆的，B是A的逆矩阵。

若矩阵A可逆，则 |A| 不等于0.
若矩阵A可逆，且
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^{*}$
其中A*是A的伴随矩阵。
当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则是非奇异矩阵
$AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
$A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
设A是一个mxn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵，对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵
方阵可逆的充分必要条件是A能通过初等变换到E
如何利用行列式性质求解线性方程组？克拉默法则

矩阵的秩

定义：在mxn矩阵A中，任取k行和k列，位于这些行列交叉处的k*k个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)，并规定零矩阵的秩等于0.
性质：

$R(A^T) = R(A)$
可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称为降秩矩阵
若P、Q可逆，则R(PAQ) = R(A)
max{R(A),R(B)} <= R(A,B) <= R(A) + R(B)
R(A+B) <= R(A) + R(B)
R(AB) <= min{R(A),R(B)}
矩阵A的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵

解线性方程组，n元线性方程组Ax = b：

无解的充要条件是R(A) <R(A,b)
有唯一解的充要条件是R(A) = R(A,b) = n
有无限多解的充要条件是R(A) = R(A,b) < n

向量

n个有次序的数 $a_1,a_2,...,a_n$ 所组成的数组称为n维向量，列向量用a，b，c，d表示，行向量右上角加T
给定向量组A： $a_1,a_2,...,a_n$ ，对于任何一组实数 $k_1,k_2,...,k_n$ ，表达式 $k_1 a_1 + k_2 a_2+...+k_na_n$ 称为向量组A的一个线性组合， $k_1,k_2,...,k_n$ 称为线性组合的系数
向量b能由向量组A线性表示的充分条件是矩阵A= $a_1,a_2,...,a_n)$ 的秩等于矩阵B= $a_1,a_2,...,a_n,b)$
向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A的秩等于矩阵(A,B)的秩，即R(A) = R(A,B)
设向量组B能由向量组A线性表示，则R(B) <= R(A)
给定向量组A： $a_1,a_2,...,a_n$ ，如果存在不全为0的数 $k_1,k_2,...,k_n$ ，使
$k_1 a_1 + k_2 a_2+...+k_na_n = 0$
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关

线性相关性质：

向量组线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=(a_1,a_2,…,a_n)的秩小于向量个数n；向量组A线性无关的充分必要条件是R(A) = n
若向量组 $A=(a_1,a_2,...,a_n)$ 线性相关，则向量组 $B=(a_1,a_2,...,a_n,a_{n+1})$ 也线性相关，反之，若B线性无关，则A线性无关
m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时，一定线性相关，特别的n+1个n维向量线性相关
设向量组 $A=(a_1,a_2,...,a_n)$ 线性无关，而向量组B： $a_1,a_2,...,a_n,b)$ 线性无关，则向量b必能由A线性表示，且表示式唯一

向量组的秩：
定义：

向量组 $A_0:=(a_1,a_2,...,a_r)$ 线性无关
向量组A做任何r+1个向量都线性相关，则A0是向量组A的一个最大线性无关向量组，r为向量组A的秩，记作 $R_A$

定理：

矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是 $R(A) = R(a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n)$

向量空间：
定义：

设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法即数乘两种运算封闭，那么集合V称为向量空间。
如果 $a_1,a_2,...,a_n$ 线性无关，且V中任何一个向量都可由 $a_1,a_2,...,a_n$ 线性表示， $a_1,a_2,...,a_n$ 称为V的一个基,n称为V的维数

向量的内积：
设有n维向量 $x=(x_1,x_2,...,x_n),y=(y_1,y_2,...,y_n)$ ， $x，y]= x_1y_2+x_2y_2+...+x_ny_n$ 叫做向量x与y的内积

向量的长度：
令 $\sqrt{[x,x]} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}$
称为n维向量x的长度，长度为1的向量称为单位向量

当[x,y]=0时，称向量x与y正交

定理：若n维向量 $a_1,a_2,...,a_n$ 是两两正交的非零向量，则 $a_1,a_2,...,a_n$ 线性无关

如果n阶矩阵A满足 $A^TA=E$ ，那么称A为正交矩阵，若P为正交矩阵，则y=Px称为正交变换。

方阵的特征值：
设A是n阶矩阵，如果数 $λ\lambda$ 和n维非零列向量x使关系式
$\lambda x$ 成立，那么这样的数 $λ\lambda$ 称为矩阵A的特征值，非零向量x为A对于与 $λ\lambda$ 的特征向量。 $(A−λE)=0(A-\lambda E) = 0$ 是特征方程组，它的解就是A的特征值

定理：设 $λ1,λ2,...,λn\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ 是方阵A的n个特征值， $p_1,p_2,p_3,..,p_n$ 是与其对应的特征向量，如果 $λ1,λ2,...,λn\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ 各不相等，则 $p_1,p_2,p_3,..,p_n$ 线性无关。