《计算机组成原理》Alan Clements 第二章计算机算

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本文深入探讨了计算机内部数据的基本表示方法，包括位、字、字节的概念，以及二进制补码系统的运作原理。文章详细解释了字符编码、图像、声音的数字化表示，有损与无损编码的区别，以及二进制算术运算，如加法、减法、乘法和除法的实现。此外，还介绍了浮点数的IEEE754标准和规格化浮点数的概念。

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基础知识

位（bit、比特）：计算机内存储和处理信息的最小单位，值只能为0或1，不可再细分
字：一组或一串比特
字节（byte）：8个二进制位

根据计算机厂商不同，有以下商用术语

字（word）：16位
长字：32位
或者
字（word）：32位
半字：16位

重要概念

表示范围：一个数能表示的最大值和最小值之间的值
精度：数据表现得多好得衡量标准
准确度：测量值为51.32，实际值为51.34，则准确度为0.02
误差：真实值-测量值

字符编码

计算机都是面向字节的
ASCII码（7位）：
- 前32位不可打印，用于完成回车、退格、换行等
- 剩余96个字符可打印
ISO 8859-1拉丁编码（8位）
Unicode编码（16位）：
- 前256个字符被映射到ASCII字符集
- 这是Java字符的标准方法

图像、声音和视觉

像素：8位（单色）或24位（三基）

所以可以看到某些软件颜色表示为
#000000 代表黑色
#FFFFFF 代表白色
以上为十六进制数，6位16进制即24位2进制

精确编码（数据）：存储和处理都不会丢失信息，称为无损的
有损编码（图片和声音）：如MPEG、JPEG、MP3，编码会造成不可逆的质量损失

有符号整数

符号及值表示法

第一个0代表正数，1代表负数，后面7位是值
0 0001101=+13
1 0001101=-13

缺点
①0 0000000和1 0000000都代表0
②加法用加法器，减法用减法器

二进制补码运算（微处理器使用二进制补码系统表示有符号整数）

补数：一个数和它的补数之和为一个常数，如一个4位二进制数可以表示0000–1111之间的数，即十进制0–15（共16个值）,那么16就是这个常数，3的补数是13
二进制求补数：各位取反加1，如1011（11），各位取反0100，加1，即0101（5）,原理如下
- 如果一个n位二进制数N，其补数为2ⁿ-N
- 假设n=4，则2ⁿ-N=8-N，8-N用二进制表示为10000-N
- 10000-N=10000-1-N+1=1111-N+1
- 此时对于N，如果有N=5，则表示为0101，1111-0101=1010，即1111-N的结果就是N的各位取反
- 最后再+1
- 该算法特别适合用硬件实现！

减法：

用二进制补码表示时，A-B可以看成A加上B的补数

0111（7）-0101（5）
可以看成 7 加上 5 的补数
0101（5）的补数为1011（11）

注意！虽然0101（5）的补数为1011（11），但是在计算时，必须将1011看成“补码表示”，即1011代表-5，而不是11
```
0111(7)+1011(-5)=2
```

运算溢出：

两个正数合为负数，两个负数和为正数，即操作数A、B符号相同，但结果符号与它们不同时，则发生了运算溢出

移位运算：

左移，空出的最低为补0，移出的最高位保存在“进位标识”中
右移，空出的最高位补符号位，移出的最低位保存在“进位标识”中
进位标识：计算机的一个存储单元

左移：左移一位等价于该数乘以2
右移：左移一位等价于该数除以2

0011（3）左移一位0110（6）
1101（-3）左移一位1011（-6）
0110（6）右移一位0011（3）
1011（-6）右移一位1101（-3）

当一个数左移或者右移时，如果超出表示范围时，则运算溢出，如

0000~1111表示-8~+7，如果是
0101（5），左移翻倍，则应该是10，已经超出-8~+7的范围，所以会有
0101（5）左移一位1010（-6），而不是预期结果10，负数同理
1010（-6），左移范围，应该是-12，超出范围，有
1010（-6）左移一位0100（4），而非预期的-12

无符号二进制乘法

算法一：要求计算机存储n个部分积，然后将他们累加

两个n位二进制数相乘会得到一个2n位的积
        1 0 1 0（10）
X       1 1 0 1（13）
————————————————
        1 0 1 0
      0 0 0 0
    1 0 1 0
  1 0 1 0
————————————————
1 0 0 0 0 0 1 0 （130）

算法二：每得到一个部分积就做一次加法
计算机实际应用多种方法加快运算（如：构造专门的逻辑阵列直接得到两数的积）

有符号二进制乘法

算法一：矫正因子（矫正因子的存在使得该算法变慢）

假设正数X与负数-Y相乘，结果为-XY
二进制补码表示X，仍是X
二进制补码表示-Y，Y的补数（2ⁿ-Y）用二进制补码表示是它的相反数-Y，所以-Y的二进制补码表示为2ⁿ-Y
则有X和-Y相乘的二进制补码表示X·（2ⁿ-Y）=2ⁿX-XY，而理论值应该是2²ⁿ-XY，所以需要矫正因子使得2ⁿX-XY+矫正因子=2²ⁿ-XY
所以矫正因子为2ⁿ(2ⁿ-X)

算法二：布斯乘法

两个二进制数的乘法存在以下规律，比如M • 58

58=32+16+8+2（2⁵+2⁴+2³+2¹）
然后又可以根据次方的连续性分为几部分

543是一组,即2⁵+2⁴+2³
1自己为一组，即2¹
对各部分进行变型

2¹=2²-2¹（第一部分）
2⁵+2⁴+2³=2⁶-2³（第二部分）
因此有M • 58=M •（2⁵+2⁴+2³+2¹）=M •（2⁶-2³+2²-2¹）

此时再让我们看下布斯乘法的原则
①当前位为1，下一位为0，则部分积减去被乘数
M • 00111010
-M • 2¹
②当前位和下一位现同，什么都不做
③当前位为0，下一位为1，则部分积加上被乘数
M • 00111010
+M • 2²
当①②③条原则相结合，会发现，他们实际上是圈起来一个次方连续性的一部分，上述圈起来的是
M • 00111010
而该部分可以被表示为-M • 2¹+M • 2²=M •（2²-2¹），发现这不就是第一部分吗！
继续执行原则
①当前位为1，下一位为0，则部分积减去被乘数
M • 00111010
-M • 2³
②当前位和下一位现同，什么都不做
M • 00111010
M • 00111010
③当前位为0，下一位为1，则部分积加上被乘数
M • 00111010
+M • 2⁶
同理，被圈起来的是
M • 00111010
而上述被圈起来的部分可以被表示为-M • 2³+M • 2⁶=M •（2⁶-2³），这就是第二部分！

算法三：用加法代替，比如

10P=2 • （2 • 2 • P+P）：即左移两次，加P，再左移一次
9P=2 • 2 • 2 • P+P：即左移三次，加P

除法

略

浮点数

概念

浮点数：顾名思义，小数点位置不固定
组成：①数值；②小数点在数值中的位置
二进制浮点数表示：尾数 • 2^指数

IEEE754浮点数标准

①32位单精度浮点数
②64位双精度浮点数
③128位四精度浮点数

规格化浮点数

①最高位总是1

1.101010......
1.001001......

②所有位数都是有效的

规格化：1.0101001，所有位都有效
非规格化：0.000101001，前四位无效

③充分利用了可用的最大精度

2~2~