python之寻找第n个默尼森数

1.贴题

题目来自MOOC
《用Python玩转数据》（南京大学）
第二周编程作业

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寻找第n个默尼森数。
代码格式如下：
def prime(num):
…
def monisen(no):
… …
return xxx

print(monisen(int(input()))) #此处不需要自己输入，只要写这样一条语句即可，主要完成monisen()函数（4分）
经典程序设计问题：找第n个默尼森数。P是素数且M也是素数，并且满足等式M=2**P-1，则称M为默尼森数。例如，P=5，M=2**P-1=31，5和31都是素数，因此31是默尼森数。
输入格式:按提示用input()函数输入
输出格式：int类型
输入样例：4
输出样例：127

时间限制：500ms内存限制：32000kb

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2.说明

题目还给出了格式，降低了难度。主要思路是通过定义两个函数，其中第一个函数用来判断是不是素数，第二个函数用来判断是不是默尼森数并控制输出第几个默尼森数。

首先是判断是不是素数的函数，这个函数也是初学者必然要进行练手的。思路为从2开始（因为判断能不能被1整除没有意义）到它本身减一，是否没有数可以被整除，如果没有的话就是素数，否则不是。而通过数学知识可以知道上界可以降低到它本身的平方根，因为如果一个数如果可以分解为两个数的因子，那么它的因子的小的那一个一定会小于或等于它的平方根。因为一个数的平方根可以不是整数，所以一般的做法是将平方根取整数部分然后加一作为上界。

判断是不是默尼森数在本次代码中使用了逐个加一的方式，属于笨办法。

3.参考代码

import math #要用到平方根的函数，所以要导入math库
def prime(num): #判断是否为素数的函数，返回真或假代表是素数或不是素数
    flag = True #首先预置flag为真
    for i in range(2,int(math.sqrt(num))+1): #从2到平方根取整加一的循环
        if num%i == 0: #判断是否整除
            flag = False #如果整除则将flag改为假
            return flag #返回flag为假，结束函数
    return flag #如果找不到整除的数，则范围flag为真，结束函数


def monisen(no): #判断是不是默尼森数并控制输出第几个默尼森数
    p = 5 #p从5开始，因为判断素数的函数采用了平方根取整加一的上界，不可以对4及以下的数进行判断，否则会报错
    if no == 1: #手动分支第一个和第二个默尼森数
        return 3
    elif no == 2:
        return 7
    else:
        while no>2:  #经过手动验证p=2，m=3；p=3，m=7是第一和第二个默尼森数，因此循环次数要减少两次
            if prime(p): #判断p是否为素数
                m = 2 ** p -1 #根据公式计算m
                if prime(m): #判断m是否为素数
                    no -= 1 #如果m为素数，则说明找到一个默尼森数，no减一
            p += 1 #p加一准备进入下一个循环
        return  m #返回第no个默尼森数

print(monisen(int(input()))) #执行函数

4.后记

写完代码和说明后又去网上查了人家写的代码，大概看了看思路都是大同小异，有的大神采用缓存保存素数来着，过程太复杂了等以后再研究。

学到了一个导入时间库看程序运行时间的，码！

import time
#中间是我的源代码，与上面的参考代码相同
import math
def prime(num):
    flag = True
    for i in range(2,int(math.sqrt(num))+1):
        if num%i == 0:
            flag = False
            return flag
    return flag


def monisen(no):
    p = 5
    if no == 1:
        return 3
    elif no == 2:
        return 7
    else:
        while no>2: 
            if prime(p):
                m = 2 ** p -1
                if prime(m):
                    no -= 1
            p += 1
        return  m
#函数定义结束

start = time.clock()
print(monisen(int(input()))) 
end = time.clock()
print("time: %f s" % (end - start))

当输入为8时，输出结果为

2147483647
time: 0.005812 s

5.疑问

在判断是否是默尼森数是，判断完p后判断下一个p时，采用了加一的方法，不知道是否有相关的数学证明可以减少判断次数，即增加步长。