密码学之欧几里得求逆元

最新推荐文章于 2025-04-14 17:25:35 发布

幼稚鬼&海南仙女

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分类专栏：网络安全【学习笔记】

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网络安全【学习笔记】专栏收录该内容

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什么是逆元

逆元：官方解释是：逆元素是指一个可以取消另一给定元素运算的元素，在数学里，逆元素广义化了加法中的加法逆元和乘法中的倒数；听起来有一丝不太容易懂；

那我们换成例子试一下：
(24 + 4) / mod 26 = 2
(24 - 22) / mod 26 = 2
此时，4和22就是mod26下的加法逆元；乘法逆元也是同理

原理步骤

求A关于模N的逆元B，即求整数B，使得A * B mod N = 1

对余数进行辗转相除（a是商，r是余数）
对除了余数为0的商数进行逆向排列（即后求出的商值排在前面），并按照下面的方法生成bi

对a逆向排列后如图所示：（图源网络）

3. 判断商的个数为奇数还是偶数

若为偶数，则 bn 就是所求的逆元
若为奇数，则 N-bn 就是所求的逆元

示例

题目：求7关于模26的的逆元

**
由题目可知，N = 26，A = 7；按照上面的步骤我们依次求解

（1）对余数进行辗转相除

26 = 7 * a0 + r0	   =>		 a0 = 3，r0 = 5
7 = 5 * a1 + r1	  	   =>		 a1 = 1，r1 = 2
5 = 2 * a2 + r2 	   =>		 a2 = 2，r2 = 1
2 = 1 * a3 + r3 	   =>		 a3 = 2，r3 = 0

（2）对除了余数为0的商逆向排列

			a2 = 2 						 a1 = 1 					 a0 = 3


b-1 = 1		b0=a2=2 				 b1=a1*b0+b-1=3				 b2=a0*b1+b0=11

（3）判断a的个数是奇数还是偶数
a0、a1、a2总共三个，为奇数；因此所求的逆元为 N - bn ，即 26 - 11 = 15

（4）得出结论：7关于模26的逆元为15

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欧几里得算法与逆元

ACoder

04-08

3446

欧几里得算法、扩展欧几里得算法、逆元的三种求法

扩展欧几里得算法（求逆元）总结

azx59285的博客

09-17

1万+

1、在RSA算法生成私钥的过程中涉及到了扩展欧几里得算法（简称exgcd），用来求解模的逆元。 2、首先引入逆元的概念：逆元是模运算中的一个概念，我们通常说 A 是 B 模 C 的逆元，实际上是指 A * B = 1 mod C，也就是说 A 与 B 的乘积模 C 的余数为 1。可表示为 A = B^(-1) mod C。打个比方，7 模 11 的逆元，即：7^(-1) ...

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拓展 欧几里得算法 求逆元_ctf 密码学常见算法总结

weixin_39774219的博客

11-23

1737

作者：0431实验室公众号：吉林省信睿网络一、欧拉函数（phi）函数内容通式：其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。注意：每种质因数只一个。比如12=223那么φ（12）=φ（43）=φ（2^23^1）=（2^2-2^1）*（3^1-3^0）=4若n是质数p的k次幂，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。设n为正整数，...

扩展的欧几里得算法（实现求乘法逆元）

11-10

欧几里得是数论中的一个最初步的概念，它用来判断两个数的最大公因子，扩展的欧几里得能够进一步实现在两个数互素情况下的乘法可逆元。求可逆元是一些算法的基础。

扩展欧几里得算法：求解乘法逆元

aw2371的博客

04-14

1120

扩展欧几里得算法：求解乘法逆元

扩展欧几里得算法求逆元_详解数论算法之欧几里得与求逆元

weixin_39936086的博客

11-23

2056

今天是算法和数据结构专题的第22篇文章，我们一起来聊聊辗转相除法。辗转相除法又名欧几里得算法，是求最大公约数的一种算法，英文缩写是gcd。所以如果你在大牛的代码或者是书上看到gcd，要注意，这不是某某党，而是指的辗转相除法。在介绍这个算法之前，我们先来看下最大公约数问题。暴力解法这个问题应该很明确了，我们之前数学课上都有讲过。给我们纸笔让我们求都没有问题，分解因数找下共同的部分，很快就算出来了。但...

欧几里得算法求逆元

Valieli的博客

08-01

5022

这里的逆元是啥？例如给两个数，7,20。因为7*3%20=1，则3就是7的逆元。一个数a与它逆元的乘积对b取余等于1。 求逆元的公式就是套一个模板，假如说我们求a关于b的逆元就是解这个方程： a*x + b*y == 1，这个方程就可以直接求了。求出的x就是a关于b的逆元。 欧几里得算法模板： void Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)

密码学考试复习：快速指数算法与扩展欧几里得求逆元

最新发布

07-07

该算法在密码学中常用于求模逆元，即找到一个整数 x，使得 ax≡1modm。 求逆元：在模运算中，逆元是指一个数 a 在模 m 下的乘法逆元 x，满足 ax≡1modm。使用扩展欧几里得算法可以求解逆元，当 gcd(a,m)=1 时，...

密码学考试复习（关于快速指数算法和扩展欧几里得求逆元）

09-23

密码学考试复习（关于快速指数算法和扩展欧几里得求逆元），之前考试自己整理的，今天又要学了。里面的算法还能看，还整理的比较透彻当时。备用了留在这。不知道为什么之前上传的xmind一点就跳转到别的页面了，这次...

扩展欧几里得算法求逆元---乘法密码

HPU_FRDHR的博客

08-11

6666

背景知识： 欧几里得算法：又叫做辗转相除法，用来求两个数的最大公约数。通过辗转相除，当余数为0的时候，最后的除数就是两个数的最大公约数。例如：求20和11的最大公约数每次将除数作为下一个式子的被除数，将余数作为下一个式子的除数。 20➗11=1......9 11➗9=1......2 9➗2=4......1 2➗1=2......0 所以最大公约数为最后一个式子的除数1，即gcd(20，11)=...

密码学之模乘法逆元算法 欧几里得拓展算法逆元 python java实现

SKPrimin的博客

10-25

2218

实现模乘法逆元算法一、实验目的通过本实验使学生掌握最大公因子算法的实现、同余类中元素的乘法逆元的求解。二、实验原理本实验的准备知识包括最大公约数、模运算及其基本性质、互素等概念。最大公约数：a和b的最大公约数是能够同时整除a和b的最大正整数，记为：gcd(a,b)或(a,b)。互素的（既约的）：满足 gcd(a,b)=1 的 a 和 b。同余（模运算）：设整数 a，b，n(n≠0)，如果 a-b 是 n 的整数倍（正的或负的），我们就说 a≡b(mod n)，读作：a 同余于 b

用欧几里德求逆元(matlab)

09-18

用欧几里德算法来求逆元，该程序可以输入两个数，这两个数必须互质，来求某个数的逆元。

使用扩展欧几里得算法求乘法逆元

07-08

此为扩展欧几里得算法求乘法逆元的完整程序，图形界面，使用 vc6.0 完成，完全标准正式的格式，绝对值10积分，有完整的代码，请使用 vc6.0 打开 DSW 工程文件，然后就可完全执行。

利用扩展欧几里德求逆元

weixin_43154720的博客

01-14

507

扩展欧几里德求逆元；（逆元与求mod是有区别的；例如3对5的逆元是2而不是3）首先两个数需要互质；只有两个数互相为质数才能存在逆元（不需要满足两个数均为质数）例如; 求A对B的逆元；实质就是求不定方程AX-BY=1的解；两个未知数一个方程肯定用扩展欧几里德求解；我们只需要找到扩展欧几里德的基础解就可以了；所求的解就是逆元；所求X为A对B的逆元；所求Y为B对A的逆元；对于利...

拓展欧几里得算法求逆元

ACMer的知识记录

07-16

1082

前置技能：欧几里得算法，详细可见https://blog.youkuaiyun.com/mmmmmmmw/article/details/79228656 此外，可以用费马小定理求逆元，详细可见：https://blog.youkuaiyun.com/MMMMMMMW/article/details/81071927 逆元已知（A/B)%M = (A * 1/B)%M = ( (A % M) * ( (1/...

扩展欧几里得求逆元实例

polarday的博客

08-01

4419

例如x=4，y=11，3x=1(mody)，3×4=12，12mod11=1,3就是x的逆元。20=1×11+9//注释此时x1=1，a=11，p=20，p1=9，展开就是axmodp=1，首先我们先求p=x1*a+p1，然后。而在其扩展算法中，我们已知两个数的最大公约数，我们已知ax=1(modp),11=1×9+2//注释x2=1，a=9，p2=2。同时2=11-9。......

欧几里得、扩展欧几里德及其应用（解不定方程、求逆元）www

blaze003003的博客

10-16

4041

一、欧几里得算法（中国叫辗转相除法）：gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明：设d是a、b的公因数（或公因子）则有d|a、d|b （根据整除定义）存在q1、q2使得a=q1*d、b=q2*d 又因为对于整数a、b可写成b=aq+r（q是某一整数，r=a%b）所以q2*d=q1*d*q+r即r=q2*d-q1*d*q=(q2-q1*q)*d即d|r，也就是d|(a%b) 得到结论一：a、...

扩展欧几里得算法(求逆元)

jkchen's Haven

02-09

8132

前论 1. 欧几里得算法欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。 gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。 gcd函数的基本性质： gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|) 公式表述 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) 证明： a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d...

欧几里得算法求解乘法逆元——Python

热门推荐

baidu_38271024的博客

12-23

1万+

刚刚学习密码，老师让使用欧几里得算法来求解一下乘法逆元，因此，就顺道学习了一下。（1）欧几里得算法，大体就是递归求解两个数的最大公约数，在本程序中它的作用就是求a，b的最大公约数，若是最大公约数不为0则判断，a关于b，或者b关于a的逆元是不存在的，否则就可以继续进行下去，具体欧几里得算法可以看百度百科中介绍的很是详细； 欧几里得算法（2）扩展的欧几里得算法，求得是 a*x + b*y

拓展欧几里得求逆元的代码实现

03-10

<think>嗯，用户之前问过关于ElGamal数字签名算法的代码实现，现在又想知道扩展欧几里得算法求逆元的代码实现。看起来他可能是在学习密码学中的算法，特别是涉及到模逆元的部分，比如在ElGamal签名中的s值计算。用户可能需要具体的代码示例，以及背后的数学原理，来更好地理解如何在实际中应用这些概念。首先，我需要确认用户对扩展欧几里得算法的了解程度。可能他们已经知道欧几里得算法用于求最大公约数，但扩展版本还能找到贝祖系数，从而计算模逆元。用户可能需要一个清晰的步骤解释，以及如何将其转化为代码。接下来，我需要考虑代码实现的细节。比如，如何处理递归和迭代两种方法，如何返回逆元，以及在不存在逆元时的处理。用户提供的ElGamal代码中使用的是OpenSSL的BN_mod_inverse函数，但用户现在可能希望自己实现这个功能，以加深理解。还要注意数学部分的正确性，比如在模运算中，逆元存在的条件是a和m互质。因此，在代码中需要检查这一点，否则返回错误或特定值。同时，递归和迭代方法的效率可能也是一个考虑点，但用户可能更关注正确性和可读性。用户可能还需要示例来验证代码的正确性，比如用已知的逆元例子测试代码。此外，解释数学原理如何转化为代码逻辑，比如贝祖等式中的系数递推，以及如何处理负数结果的情况，将其转换为正数模数。最后，确保回答结构清晰，分步骤说明，结合数学和代码，可能还要比较递归和迭代的优缺点，帮助用户选择适合的实现方式。同时，提醒用户在实际应用中使用经过验证的库函数，比如OpenSSL的，以避免安全漏洞。</think>以下是关于扩展欧几里得算法求模逆元的详细解析与代码实现，包含数学原理、代码示例和关键注意事项： --- ### **一、数学原理** 设求 $a$ 在模 $m$ 下的逆元 $a^{-1}$，需满足： $$ a \cdot a^{-1} \equiv 1 \ (\text{mod} \ m) $$ **核心方程**（贝祖等式）： $$ ax + my = \gcd(a, m) $$ 当 $\gcd(a, m)=1$ 时，$x$ 即为所求逆元 --- ### **二、代码实现（C++）** #### **版本1：递归实现** ```cpp int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } int g = exgcd(b, a % b, y, x); // 递归调用 y -= a / b * x; // 更新y的值 return g; } int mod_inverse(int a, int m) { int x, y; int g = exgcd(a, m, x, y); if (g != 1) return -1; // 逆元不存在 return (x % m + m) % m; // 保证结果为正 } ``` #### **版本2：迭代实现**（性能更优） ```cpp int mod_inverse_iter(int a, int m) { int old_r = a, r = m; int old_s = 1, s = 0; while (r != 0) { int quotient = old_r / r; // 更新系数 int temp = r; r = old_r - quotient * r; old_r = temp; temp = s; s = old_s - quotient * s; old_s = temp; } if (old_r != 1) return -1; // 无解 return (old_s % m + m) % m; // 标准化结果 } ``` --- ### **三、算法执行流程示例** **示例**：求 $3^{-1} \ (\text{mod} \ 11)$ **步骤追踪表**： | 步骤 | a | b | q | x | y | |------|-----|-----|-----|-----|-----| | 初始 | 11 | 3 | 3 | 0 | 1 | | 1 | 3 | 2 | 1 | 1 | -3 | | 2 | 2 | 1 | 2 | -1 | 4 | | 3 | 1 | 0 | - | 4 | -11 | **结果验证**： $3 \times 4 = 12 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 11)$ --- ### **四、关键特性对比** | 特性 | 递归版 | 迭代版 | |---------------|---------------------------|---------------------------| | 时间复杂度 | $O(\log \min(a,m))$ | 相同 | | 空间复杂度 | $O(\log \min(a,m))$ 栈空间 | $O(1)$ | | 溢出风险 | 较高（深递归） | 较低 | | 可读性 | 更直观 | 需要理解状态维护 | --- ### **五、边界条件处理** 1. **负数输入**： ```cpp a = (a % m + m) % m; // 预处理保证a∈[0,m) ``` 2. **m=1的特殊情况**： ```cpp if (m == 1) return 0; // 0 ≡ 1 mod 1 ``` 3. **无逆元情况**： ```cpp if (gcd(a, m) != 1) throw "No inverse exists"; ``` --- ### **六、大数运算扩展** 当处理大整数时（如密码学应用），需使用高精度库： ```cpp #include <openssl/bn.h> BIGNUM* bn_mod_inverse(const BIGNUM *a, const BIGNUM *m) { BN_CTX *ctx = BN_CTX_new(); BIGNUM *inv = BN_new(); if (!BN_mod_inverse(inv, a, m, ctx)) { BN_free(inv); inv = NULL; // 表示无解 } BN_CTX_free(ctx); return inv; } ``` --- ### **七、性能优化技巧** 1. **预计算模数**：当需要多次计算同一模数的逆元时，可使用蒙哥马利模乘 2. **二进制扩展欧几里得**：减少除法运算次数 3. **奇模数优化**：当m为奇数时，可用位运算加速 --- ### **八、应用场景** 1. RSA密钥生成：计算 $d ≡ e^{-1} \ (\text{mod} \ φ(n))$ 2. 椭圆曲线加密：有限域逆运算 3. 多项式求逆：编码理论中的伽罗华域运算 --- 通过上述代码实现与数学分析，可以深入理解扩展欧几里得算法在模逆元计算中的核心作用。实际开发中建议优先使用经过严格验证的数学库（如OpenSSL的BN_mod_inverse），但在学习阶段手写实现有助于夯实理论基础。