算法导论 32.4-8

32.4-8 给出一个有效算法，计算出某给定模式P的字符串匹配自动机的转移函数$\epsilon$，所给出的算法运行时间应该是 $O(m|\sum|)$

伪代码如下：

m=P.length
π=COMPUTE-PREFIX-FUNCTION(P)
for q=0 to m
  for each character a in Σ
    if P[q+1]==a
      δ(q,a)=q+1
    else if q==m or P[q+1]!=a
      δ(q,a)=δ(π[q],a)
return δ

两层循环的内部在常数时间内完成，算法复杂度很容易看出是 $O(m|\sum|)$ 。正确性主要需要证明第7,8行，其他步骤都是显然的。第7、8行其来自于一个引理。

引理：如果 $q=m$ 或 $P[q+1]\neq a$ ，则 $\delta(q,a)=\delta(\pi[q],a)$。

证明：
$q=m$ 或 $P[q+1]\neq a$ 时候，对模式的检索到此结束，下一个状态需重新置位。根据前缀函数的定义，对于 $P_q$本身，我们有 $\sigma(P_q)=\pi[q]$ 。所以对 $P_q$ 长度为 $\pi[q]$ 的后缀串 $s$ , $s$ 同时也是 $P_q$ 相同长度的前缀。所以我们有 $\delta(q,a)=\phi(s)=\phi(\pi[q])=\delta(\pi[q],a)$。

实际上这就是字符串匹配NFA转DFA的一个一般过程。