最短路径算法

最短路径问题的定义

· 对任意给出的图G(V,E)和起点S，终点T，如何求从S到T的最短路径（这条路径上经过的所有边的边权之和最小）
· 解决最短路径问题常用的算法有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、SPFA算法和Floyd算法，此篇介绍Dijkstra算法

Dijkstra算法

· 用来解决单源最短路径问题，即给定图G和起点，通过算法得到该起点s到达其他每个顶点的最短距离。
· 基本思想：
1.对图G(V,E)设置集合S，存放已被访问的顶点，每次从集合V-S中选择与起点s的最短距离最小的一个顶点（记为u），访问并加入集合S。
2.之后，令顶点u为中介点，优化起点s与所有从u能到达的顶点v之间的最短距离。
3.这样的如上操作执行n次（n为顶点数），直到集合S包含所有的顶点。
· 实际操作中，集合S用bool数组对元素进行访问标识来操作
· 另设置一int数组d[]表示起点s到达顶点Vi的最短距离。初始设置d[s]=0,d[else]=INF(极大值)

代码实现

伪代码

Dijkstra(G,d[],s){
    初始化；
    for(循环n次){
        u=使d[u]最小的还未被访问的顶点的编号；
        记u已被访问；
        for(从u出发能到达的所有顶点v){
            if(v未被访问&&以u为中介点使s到v的d[v]更优)
                优化d[v];
        }
    }
}

邻接矩阵版实现

int n,G[MAXV][MAXV];
int d[MAXV];
bool vid[MAXV]={false};
void Dijkstra(int s){
    fill(d,d+MAXV,INF);
    d[s]=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int u=-1,MIN=INF;
        for(int j=0;j<n;j++){     //找到未访问顶点中d[u]最小的u
            if(vis[j]==false&&d[j]<MIN){
                u=j;
                MIN=d[j];
            }
        }
        if(u==-1) return;  //找不到小于INF的d[u],说明剩下的顶点与s不连通
        vis[u]=true;
        for(int v=0;v<n;v++){
            if(vis[v]==false&&G[u][v]!=INF&&d[u]+G[u][v]<d[v]){
                d[v]=d[u]+G[u][v];
            }
        }
    }
}

如何记录最短路径

增设pre[]数组，在优化d[v]的同时记v的前驱结点为u：

if(v未被访问&&以u为中介点使s到v的d[v]更优){
    d[v]=d[u]+G[u][v];  //优化d[v];
    pre[v]=u;  //令v的前驱为u；
}

最后采用DFS对数组pre[]递归得到最短路径:

void DFS(int s,int v){   //s->v,从终点开始递归
    if(v==s){      //到达s起点，输出并返回
        printf("%d\n",s);
        return;
    }
    DFS(s,pre[v]);   //递归访问v的前驱结点pre[v]
    printf("%d\n",v);  //从最深出返回后输出每一层
}

最短路径增加第二标尺

1.新增边权（如路上花费最小）
2.新增点权，点权和最大（如PATA1087中城市幸福值最大）
3.求最短路径条数
1和2均在优化d[v]时添加相应判断即操作即可，3则需增加一个数组num[]，初始化num[s]=1,num[else]=0:

for(int v=0;v<n;v++){
    if(vis[v]==false&&G[u][v]!=INF){
        if(d[u]+G[u][v]<d[v]){
            d[v]=d[u]+G[u][v];
            num[v]=num[u];
        }else if(d[u]+G[u][v]==d[v]){
            num[v]+=num[u];
        }
    }
}

Dijkstra+DFS的方法求第二标尺下的最优路径

1.先在Dijkstra算法中记录下所有的最短路径

vector<int> pre[MAXV];  //记录路径

for(int v=0;v<n;v++){
    if(vis[v]==false&&G[u][v]!=INF){
        if(d[u]+G[u][v]<d[v]){
            d[v]=d[u]+G[u][v];
            pre[v].clear();    //更短路径下之前记录的v点前驱务必先clear
            pre[v].push_back(u);
        }else if(d[u]+G[u][v]==d[v]){
            pre[v].push_back(u);
        }
    }
}

2.通过DFS从这些最短路径中选出一条第二标尺最优的路径
方法：
第一步中生成的pre[]相当于一棵树，选定根结点v（即终点）进行dfs，每次到达叶子结点（即起点），就会产生一条完整的最短路径，计算其第二标尺值
需添加：
· 作为全局变量的第二标尺最优值optValue
· 记录最优路径的数组path（用vector存）
· 临时记录DFS遍历到叶子结点时的路径tempPath

int optValue;
vector<int> path,tempPath;

void DFS(int v){  //当前访问结点v
    if(v==s){
        tempPath.push_back(v);
        int value;
        //此处计算tempPath上的value值
        //由于temppath中的路径结点是逆序的
        //访问最好倒着进行
        if(value优于optValue){
            optValue=value;
            path=tempPath;
        }
        tempPath.pop_back();
        return;
    }
    tempPath.push_back(v);
    for(int i=0;i<pre[v].size();i++){
        DFS(pre[v][i]);
    }
    tempPath.pop_back();
}