剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

一、题目

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：0 < grid.length <= 200, 0 < grid[0].length <= 200

二、题解

2.1 思路

这是一道典型的动态规划题目，我们可以构造一格和输入矩阵大小相同的动态规划表dp[m] [n], 这个dp表每个坐标代表从左上角到当前位置所能获得的最大价值

• 构造dp[m] [n]
• 初始化
  • 对于原点而言dp[0] [0], 就是grid[0] [0]处的价值
  • 对于第一列的dp值，因为在表格中只能向下或者向右走，所以第一列均是向下走得到的
    • dp[i] [0] = dp[i-1] [0] + grid[i] [0]
  • 对于第一行的元素，均是向右走得到的
    • dp[0] [j] = dp[0] [j-1] + grid[0] [j]
• 对于其他任意位置的状态转移方程为:
  • dp[i] [j] = max(dp[i-1] [j], dp[j] [i-1]) + grid[i] [j]
  • 动态表(i, j)处的值为，左右状态中较大的dp值加上表格当前位置的值
• 最后dp表左下角的值即为所求

示例：

• grid

  1	3	1
  1	5	1
  4	2	1

• dp

  1	4	5
  2	7	6
  6	8	7

2.2 代码

class Solution:
    def maxValue(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        # 动态规划
        # 构建动态规划二维数组
        # 对于一般位置的状态转移方程为：dp(i, j) = max(dp(i-1, j), dp(i, j-1))+grid(i, j)
        
        # 初始化，考虑原点，第一行，第一列
        # dp(0, 0) = grid(0, 0)原点只能为原点值
        # dp(i, 0) = dp(i-1, 0)+grid(i, 0)第一行只能是由左边dp值计算而来
        # dp(0, j) = dp(0, j-1)+grid(0, j)第一列只能由上一个dp值计算而来

        m, n = len(grid), len(grid[0])
        dp = [[0]*n for _ in range(m)]
    
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if i==0 and j==0:dp[i][j] = grid[i][j]
                elif i==0:dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j]
                elif j==0:dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j]
                else: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
        return dp[m-1][n-1]