【数据结构与算法】Z算法（扩展KMP）（C++和Python写法）

Z算法（扩展KMP）

所谓Z算法，就是求一个字符串中，每个后缀子串和主串的前缀匹配字符数的数组，其也成为Z数组

eg：主串为aaaab(首位总为0，因为包含首位即本体，无意义)

• aaaab aaab -> 3
• aaaab aab -> 2
• aaaab ab -> 1
• aaaab b -> 0
• 结果集[0, 3, 2, 1,0]

朴素求法

时间复杂度为O(n^2)，暴力获取Z数组。

每次都从头匹配，如果符合往后++，不符合则返回，下一次又从头匹配。

vector<int> z_function_trivial_simple(string s)
{
   
   
    int n = (int)s.length();
    vector<int> z(n);
    for (int i = 1; i < n; ++i)
    {
   
   
        while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]])
            ++z[i];
    }
    return z;
}

线性求法

我们使用一个滑动窗口[l,r]，这个滑动窗口总是往右移动，我们可以称之为Z_box

这个z_box具有特性：s[l, r] = s[0, r-l]（s为字符串，l和r总是从0开始）

我们再次复习一下z数组的含义：z[i]表示从s[i]开始直到末尾的子字符串和s整个字符串匹配的前缀和

问题一：如何获取这个滑动窗口？

由于滑动窗口（z_box）总是向右移动，所以我们要用z数组及i来辅助获取。

具体方法为：当i+z[i] -1 > r时，修改l和r的位置，是l = i , r = i + z[i] - 1

原因：1. 我们希望滑动窗口会比需要匹配的数字更靠后，或者说能够包含未来匹配的位置，并且滑动窗口总是往右的。

2. i这里代表新窗口的起始位，z[i]代表匹配的长度， -1 是因为z[i]的数字里包含i的位置。

换句话说，所谓新的z_box就是更往右的匹配上的子串前缀。这么说可能比较抽象，请以下图例辅助理解：

问题二：这个滑动窗口的具体作用？

这个滑动窗口只在i ∈[l, r]时发生作用。

我们以上图例作为一个例子，作为讲解：

• 此时 i = 5 ，5包含在[4,6]中，而且刚好是中间

• 因为 s[0,2] == s[4,6] ，那么z[5] 可以直接参考z[1]获取

  ​ == > 即z[i] = z[i - l]

• 但这只是上图的可能性，因为上图中z[i-l] == 1 这个值小于r - i + 1 -> 6- 5 + 1 -> 2，我们已经知道了最多只能匹配到这里

但是！还有一种可能，就是z[i-1] == (r - i + 1)，这种情况我们无法预测r后面是否可以继续匹配，那么我就需要从r的后一位开始匹配。而这种匹配方式则回到了原始的匹配中，不再进行讲解，但是这种情况我们依然可以省略已经处于滑动窗口中的匹配。

下面代码展示（如果还不理解：可以用这个网站模拟：演示Z函数，也可以看B站视频：Z 函数（扩展 KMP）【力扣周赛 383】（从7:00开始看）。

C++ 代码

vector<int> z_function(string s)
{
   
   		
    vector<int> z(s.size(), 0);
    int l = 0, r = 0;
    for (int i = 1; i < s.size(); i++)
    {
   
   
        if (i <= r && z[i - l] &l