正态分布 置信区间 威尔逊置信区间(Wilson score interval)

一、正态分布

1. 标准正态分布
   标准正态分布就是均值为0，标准差为1的分布，如下图
   
2. 一般正态分布
   一般正态分布n，假设其均值是 μ，标准差为σ ，即服从 n~N(μ,σ)
   经过变换可以转换成标准正态分布：另X = (N - μ)/ σ，则X就是服从标准的正态分布了X~N(0,1)

二、置信区间

1. 上图中的面积就是标准正态分布的概率，而置信区间就是变量的区间估计，例如图中的-1到1就是一个置信区间：标准正态分布的变量X ，有68.27%的概率 X属于[-1,1]这个区间。
   最常用的是95%的分布区间，就是[-1.96,1.96]这个区间。方便公式化，我们另区间为[-z,z]，那么 -z<=X<=z。
   进而可以推导一般正态分布的置信区间:
   -z<=X<=z
   -z<=(N - μ)/ σ<=z
   μ-zσ<=N<=μ+zσ
   因此，一般正态分布n~N(μ,σ)的置信区间是 [μ-zσ, μ+zσ]，其中z根据置信水平而定。置信水平与区间对应关系如下：
2. 性质分析
   置信区间与置信水平、样本量等因素均有关系，其中样本量对置信区间的影响为：在置信水平固定的情况下，样本量越多，置信区间越窄。其次，在样本量相同的情况下，置信水平越高，置信区间越宽。
   因此：如果样本多，就说明比较可信，不需要很大的修正，所以置信区间会比较窄，下限值会比较大；但是如