抽签问题

抽签

现有写有数字的n个纸片，从中有放回地随机抽取4张，并记录这4个数字的和m。请你编写一个程序，判断当纸片上的数字是k1,k2,…,kn时，是否存在抽取4次和为m的方案。如果存在，输出Yes；否则，输出No。

样例1

输入

n=3
m=10
k-{1,3,5}

输出

Yes(例如4次抽签的结果是1、1、3、5，和就是10)

样例2

输入

n=3
m=9
k={1,3,5}

输出

No(不存在和为9的抽取方案)

思路

如果直接暴力进行四次循环，$O(n^4 )$ 的复杂度绝对会超时。
如果先进行对k排序，然后三次循环，最后一次进行二分查找。这样排序的复杂度是$O(n\log(n))$，进行的三次循环复杂度是$O(n^3\log(n))$，所以总的复杂度是$O(n^3\log(n))$。
我们不妨再次进行优化，上面的思路其实是进行检查是否存在d使得存在$k_d = m - k_a - k_b -k _c$，从而替换掉内测的一次循环。同刚才的思路一样，内测的两个循环是在检查是否有c和d使得$k_c + k_d = m - k_a - k_b$。这种情况并不能直接使用二分搜索。但是，如果预先枚举出$k_c + k_d$所得到的$n^2$个数字并排好序，便可以利用二分搜索了。该算法的排序时间是$O(n^2\log(n))$，循环时间是$O(n^2\log(n))$。总的也是$O(n^2\log(n))$时间，这样就可以确信即使是n=1000也能妥善应对了。

// 输入n为卡片个数
//  m为有放回地抽取4张卡片后上面数字的和
//  k为卡片上的数字的数组
int n, m, k[MAX_N];
// 保存k[c]和k[d]两个数的和的数组
int kk[MAX_N * MAX_N];

// 进行二分查找，是否在kk数组中存在一个值等于m-k[a]-k[b]
bool binary_search(int x){
    int l = 0, r = n*n;

    while(r-l>=1){
        int i = (l+r)/2;
        if(kk[i] == x)return true;
        else if (kk[i] < x) l=i+1;
        else r =i;
    }
    return false;
}

void solve(){
    // 对kk数组进行赋值
    for(int c=0; c<n; c++){
        for(int d=0;d <n; d++){
            kk[c*n+d] = k[c] + k[d];
        }
    }
    //进行排序，方便二分查找
    sort(kk, kk+n*n);

    bool f = false;
    for(int a=0; a<n; a++){
        for(int b=0; b<n; b++){
            if(binary_search(m-k[a]-k[b])){
                f=true;
            }
        }
    }
    if(f) puts("Yes");
    else puts("No");
}