leetcode-第k个排列-康托展开和康托逆展开

Leetcode-第60题，分类在回溯算法中，但是回溯并不是最佳解，甚至会超时。

乍一眼看，这又是一个类似于全排列的回溯题，第一思路是又使用回溯法递归出全排列的所有情况列一个表，然后根据k来找到第k个排列。
很遗憾的是这种方法，百分之百超时，效率太低，即便是添加了一些到达k就返回的剪枝，效率也很难令人满意。

事实上，使用纯数学的方法才是这题的解法，我们只想要第k个排列，不需要无谓的全盘列出。
题目需要第k个排列，那么排列的规律一定是确定的，这就引入了康托展开–Cantor expansion。
这个名字听起来像个高深莫测的数学定理，但是其实就是对全排列与排列顺序关系的数学规则表示：

这个网上很多讲解：https://blog.youkuaiyun.com/ltrbless/article/details/87696372
比方说{1，2，3}的第3个是213：
”2“前面有个1，那么前面有1*（3-1）！=2种排列；
”1“前面啥都没有，那么前面有0*（3-2）！=0种排列；
”3“前面也啥都没有了，那么前面有0*（3-3）！=0种排列；
所以”213“排在第3位；
那怎么逆推呢？
3-1=2，说明前面有2种情况；
2/（3-1）！，商1余0，说明前面有1个，自己在其后，那么在{1，2，3}挑出2来l；
0/（3-2）！，商0余0，说明前面没有，自己在剩下的第一个，那么在{1，3}中挑出1；
0/（3-3）！，商0余0，说明前面没有，自己在剩下的第一个，那么在{3}中挑出3；
推知k=3时，排列为”213“

直接上代码：

class Solution {
public:
    string getPermutation(int n, int k) {
        int step=0;
        k--;
        int list[10] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};//1-9阶乘的情况直接列表下来
        string res = "";

        int flag[10] = {0};
        while(step!=n)
        {
            int residue = k%(list[n-step-1]);//余数
            int quot = k/(list[n-step-1]);//商
            for(int i=1;i<n+1&&quot>=0;i++)
            {
                if(flag[i]==0)
                {
                    if(quot==0)
                    {
                        flag[i]=1;
                        res.push_back(char(i+48));
                        break;
                    }
                    quot--;
                }
            }
            k = residue;
            step++;
        }
        return res;
    }
};