量子计算笔记|可能会涉及一点点高量的量子力学基础（一）

最新推荐文章于 2023-09-28 08:13:37 发布

煊琰

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本文介绍了量子力学的五大基本原理，包括态矢量、物理量的表示、粒子的对易关系、薛定谔方程及全同粒子的对称性。基于这些原理，量子计算机得以运行。

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因为主题并非量子力学，所以这里只是简要介绍，更详细的内容可以买本书来看。然后还可以参考

好久以前的Live（这篇文章大约是知乎Live刚出现的时候写的）

量子力学的基本假设

类似于其它的物理理论（比如分析力学的最小作用量原理），量子力学也有一些基本的假设：

原理一：描写微观系统状态的数学量是Hilbert （希尔伯特）空间中的矢量。相差一个复数因子的两个矢量，描述同一状态。我们用归一化的右矢量或左矢量表示系统的状态，这个希尔伯特空间称为态空间

原理二：

描写微观系统的物理量是Hilbert空间中的Hermitian（厄米）算符，也就是说一个Hermitian算符就代表了一个微观系统的物理量
物理量所能取的值，是相应算符的本征值
物理量在状态 $|\psi\rangle$ 中取各值 $\alpha_i$ 的概率，与态矢量 $|\psi\rangle$ 按照的归一化本征矢量的展开式中的系数（一般我们称为概率幅）的复平方成正比。

原理三：

微观系统中每个粒子的广义坐标（不理解换成直角坐标也行）下的位置算符，与相应的正则动量算符有下列对易关系： $[X_i,X_j]=0,\quad [P_i,P_j]=0,\quad [X_i,P_j]=i\hbar\delta_{ij}$ 其中 $\delta_{ij}$ 当且仅当的时候为，其余时候都是都是

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粒子的自旋角动量算符 $\mathbf{S}$ 各分量之间的对易关系为： $[S_i,S_j] = i\hbar\sum_{k}\epsilon_{ijk} S_k$ ,并且各分量与粒子的位置和动量算符都对易

原理四：微观系统的状态 $|\psi(t)\rangle$ 随时间变化的规律是薛定谔方程，这里 $\hbar$ 是一个常数（实数），称为这个系统的Hamiltonian（哈密顿量）

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = H|\psi(t)\rangle$

原理五：描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调是对称的（对调前后完全相同）或者反对称的（对调前后差一个负号），前者称为玻色子，后者称为费米子。这里全同粒子系统是指由同一种粒子组成的系统，这些粒子每个都是一样的。

量子计算机的运行就是基于以上五个基本原理。关于基本原理是否正确，以及以上的称述方式是否严格我们不在这里讨论，在具体实现的时候我们更关心这些原理是否能够帮助我们预测微观系统的行为。毕竟对于量子力学的诠释，除了最经典的哥本哈根诠释，还有诸如流体力学诠释，Bohm理论（在非局域的情况下依然能用），随机诠释等等。我们还没有找到在实验中能直接否定它们的方法，所以目前来说信哪个是一种信仰...

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