343. 整数拆分

LeetCode-343. 整数拆分

一、题目内容

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

二、题解过程

1、问题分析

求最值问题最先想到的就是动态规划问题。动态规划的核心问题就是穷举。因为要求最值，肯定要把所有可行的答案穷举出来，然后求最值。但是动态规划有点特别，因为这类问题存在[重叠子问题]，如果暴力穷举的话，效率会及其底下，所以需要[备忘录]或者[DP table]来优化穷举过程，避免不必要的计算。

2、转态定义

我们可以用dp[i]来表示i 这个值能被分解得到的最大的值。

3、状态转移

如何进行转移呢？对于整数j，我们可以将其分为 i 和j-i两个部分，则 (j-i)与dp[j-i]的较大值与i进行相乘即为所需要的结果。则状态转移方程如下：
dp[n] = i * max(n-i,dp[n-i]);

4、解法一代码：

时间复杂度是 O(n^2)，n 输入大小。

class Solution {
      public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        
        for(int i = 0; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j < i;j++) {
                dp[i] = Math.max(j * Math.max(i-j,dp[i-j]),dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}