排队论在食堂排队中的运用

一、问题描述
排队在日常生活中是非常常见的现象。在学校中，每次到了饭点的时间，食堂都会水泄不通，对于同学们来说，减少排队等待时间是同学们的需求，但是对于食堂来说，增加窗口的同时，也会相应增加运营成本，如何设置窗口的数量，达到双方都能接受并相对满意的程度是值得分析的。

理论准备

1、排队系统的符号一般形式为：X/Y/Z/A/B/C。
其中：X 表示顾客相继到达时问间隔的分布；Y 表示服务时间的分布；Z 表示服务台的个数；A 表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B 表示顾客源的数目；C 表示服务规则。

2、排队结构与排队规则
顾客排队方式：等待制/损失制

排队系统容量：有限制/无限制
排队队列数目：单列/多列
是否中途退出：允许/禁止
是否列间转移：允许/禁止

3、服务机构与服务规则
服务员数目：单个/多个
服务员排列形式：并列/串列/混合
服务时间分布是否平稳：平稳/非平稳

4、排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。从排队系统进程的主要因素来看，它主要由三部分组成：输入输出、排队规则和服务规则，此食堂窗口服务系统研究模型假设为 M/M/s 等待制多服务台模型。
涉及的主要指标：
平均排队长度L_q=(P_0 ρ^s ρ_s)/(s!(1-ρ_s )^2 )：系统中排队等待服务的顾客数
平均等待时间W_q=L_q/λ：一个顾客在系统中的排队时间
平均逗留时间W_s=W+t ̅：一个顾客在系统的全部停留时间
平均顾客数L_s=L_q+ρ；
平均到达率λ；
平均服务率μ；
并联服务台的数目S；
服务台强度 , 即每个服务台单位时间间隔内的平均服务时间ρ=λ/μs；
系统的稳态概率P_0=[(∑_(i=0)^n▒ρi/i!)+ρ^(n+1)/n!(n-ρ) ]^(-1)和繁忙概率P。

三、实例分析

1、模型假设
1.1假定学生在高峰期这段时间达到的人数是无限的，并且是符合参数为λ的泊松分布的，因学生达到的时间间隔是随机的，服从负指数分布。
1.2每个服务窗口以并联的方式连接，每个窗口服务上无差别，服务时间服从参数为μ的负指数分布
1.3窗口实行先来先服务原则，认为学生固定在一条队列里排队，不可移动到别的队列中去。
统计了从某周一到周五11:35 至12：15 午饭高峰期食堂的学生流分布情况：共统计了2615人次的数据（以10 秒为一个时间单位），如下：
每10秒到达人数 1 2 3 4 5 6
频数 220 375 765 815 300 140
由概率论的知识可知，若分布满足P_k/P_(k-1) =λ/K，则该分布为泊松分布。（其中P_k为泊松分布的密度，λ为泊松分布的参数）
λ=1220/2615+2375/2615+3765/2615+4815/2615+5300/2615+6140/2615=3.38
由上表可得λ =3.38。经检验，该分布近似于泊松分布。虽然只收集了一周的数据，但考虑到学生到食堂就餐具有较大的稳定性，所以认为收集的数据还是较为可靠的。另不在非高峰期采集数据。

2、模型建立及求解
基于以上的假设，我们的模型符合排队论中的多服务台等待模型（M/M/S）。该模型的特点是：服务系统中有S个窗口，学生按泊松分布来到服务系统，到达强度为λ；服务员的能力都是µ，服务时间服从指数分布，每个学生的平均服务时间t ̅。当学生到达时，如果所有排队队伍都有人了，学生可以选择一个窗口进行排队，等待服务。
到达强度λ=3.38,每位学生的服务时间t ̅=1.3,食堂目前窗口数量s=5；
服务员能力：μ=1/t ̅ =0.76
系统服务强度：ρ=λ/μ=4.45，ρ_s=ρ/s=4.45/5=0.889<1
空闲概率：p_0=[(∑_(i=0)^n▒ρi/i!)+ρ^(n+1)/n!(n-ρ) ]^{(-1)=[1+4.45+(0.889)}2/5!(1-0.889) ]^(-1)=0.181
系统中排学生的平均数：L_q=(P_0 ρ^s ρ_s)/(s!(1-ρ_s )^2 )=189.91
学生平均排队时间：W=L_q/λ=57.48
学生平均逗留时间：W_q=W+t ̅=57.48+1.3=58.78
系统中学生的平均数：L=L_q+ρ=189+4.45=193.45

在11:35——12:15这段时间内，系统中有189个同学正在排队买饭，193个同学正在排队等待，平均一个窗口38人。当我们开始排队时，要排574秒才被轮到，要等587秒才可以吃上饭。

3、模型分析
学生在食堂排队的平均逗留时间W_q很大程度上会影响学生对食堂的选择。研究学生平均逗留时间W_q，是解决此问题的关键点。
平均逗留时间W_q是由平均排队时间W和平均服务时间t ̅组成。我们认为13秒的平均服务时t ̅对于服务员来说已经是最快的服务时间了，服务时间无弹性，故认为平均服务时间t ̅是个常量。
至于平均排队时W，我们由公式可知它是由顾客到达强度λ，每个顾客的平均服务时t ̅和窗口数S来决定的，由于学生对于食堂的选择比较固定，即一般都会去同一个食堂吃饭，所以我们可以认为学生流是稳定的，即λ为常数，由上面的分析又可t ̅也是常数，因此只有窗口数会影响等待排队时间了，下面我们就S的取值对W的影响进行分析：
由Excel可以得到它们两者之间的拟合分析图：

纵坐标代表平均等待时间W（10秒）
横坐标代表S的窗口数
从图中可以看出，随着窗口数的增加，平均排队等待时间急剧减少，当窗口数为7时，等待时间已经下降超过窗口数为5时的一半以上，随着窗口数的持续增加，等待时间不断减少，但是减少的变化量逐渐下降

4、灵敏度分析

窗口数S 5 6 7 8 9 10 11
平均排队时间W（10秒为单位） 0 42.9 27.79 16.0 8.5 4.5 2.6
∆W 14.5 15.2 11.7 7.5 4 1.9
经上表可知，窗口数从6变化到7时，∆W达到最大
灵敏度Q(S,W)=(∆W⁄∆S)/(W⁄S)

窗口数S 5 6 7 8 9 10 11
灵敏度 0 2.02 3.82 5.86 7.80 8.90 8.13
通过上表可以分析得知，平均排队时间W一定程度上受到了窗口数的影响，其中，窗口数为6、7、8时，平均排队时间减少量特别明显，窗口数为5时的时间为574秒，随后时间从429秒降到277秒。灵敏度随着窗口数量的增加而增大，在窗口数为7的位置等待时间的减少量达到最大，随后递减，可知，尽管10、11的灵敏度值较高，但是∆W很小，效率不算高。

5、优化分析
随着窗口数量的增加，学生的等待时间逐渐缩短；但是考虑到食堂方成本也会随之增加，窗口数量并不是越多越好。应当考虑双方，既要缩短排队时间，又要考虑成本和收益的关系。因此，对于窗口数的优化上，应当寻求一个可能的平衡点。
寻求最佳的服务窗口数量S，使得系统总费用F(S)最小。
S为窗口数量，F(S)所产生的费用，F_s为单位时间内平均每个窗口的费用，F_W为平均每个学生在系统中等待时间的损失，L是平均排队长。
MinF(S)=F_s×S+F_W×L
{█(ρ=λ/Sμ<1@F_s,S,F_W,L≥0)┤
最佳的窗口数应当满足以下条件：
{█(F(S_0)≤F(S_0-1)@F(S_0)≤F(S_0+1))┤

由以上可得，
L(S_0)-L(S_0+1)≤F_s/F_W ≤L(S_0-1)-L(S_0)
食堂设有5个窗口，学生每分钟的到达强度为λ=3.38，ρ=λ/Sμ=4.45/S，若要满足ρ<1，则有S>4.45，这里我们取F_s/F_W =30，并采用边际分析法来分析。

S L_q [L(S_0 )-L(S_0+1),L(S_0-1)-L(S_0 )]
5 189.9
6 140.8 [50.3,49.1]
7 89.7 [39.2,51.1]
8 49.8 [25.2,39.9]
9 24.6 [13.7,25.2]
10 10.9

当窗口数为8时，
L(S_0)=49.8,L(S_0+1)=24.6,L(S_0-1)=89.7,
[L(S_0 )-L(S_0+1),L(S_0-1)-L(S_0 )]=[25.2,39.9], 

经分析，在考虑学生等待时间与食堂方成本收益的前提下，此时的平均等待时间为160秒，每个窗口的排队学生数量为6，认为窗口数为8是比较合理的。

6、结论
S(窗口数量） L（平均排队的学生数） W_q（平均排队时间）

Q
5 189.91 57.48708312 0 0
6 140.85 42.97208665 14.515 1 2.026664
7 89.54 27.7915408 15.18055 1 3.823603
8 49.81 16.03591957 11.75562 1 5.864645
9 24.63 8.586093564 7.449826 1 7.808957
10 10.96 4.542311636 4.043782 1 8.902476
11 4.43 2.611662435 1.930649 1 8.131656

窗口数为8时，系统中排队的学生数量为50人，每个窗口排队人数平均为6人，平均排队时间为160秒，灵敏度为5.86，学生等待时间相较于窗口数5时大幅度减少，且根据优化分析可知此时的运营成本是合理并可接受的，因此窗口数设置为8是符合学生食堂双方的利益的。

总结
通过利用运筹学排队论的相关知识，建立了多队多台排队模型，研究分析了食堂排队窗口数如何设置这一问题。排队论本身是一个理论化的模型，可能还有其他的因素没有考虑进去，但最后研究得出的结果也具有一定的参考性。当窗口数量增加时，学生等待时间随之减少，但窗口数越大并不能达到系统最优，应当寻求一个使得学生和食堂都能互利双赢的平衡点，既使得学生等待时长相对减少，又能降低食堂成本。建立一个高质量高效率的系统，不仅是学生的需求也是食堂的需求，也使得学校后勤保障制度更加完善。