递归实例

1.Fibonacci数

我们直到Fibonacci数的递推公式为：F(0)=F(1)=1；F(n)=F(n-1)+F(n-2) ，n>=2;

这个明显地给出了递归边界n=0或1的时候F(n)的值，和递归逻辑F(n)=F(n-1)+F(n-2)，即递推公式.

递归函数：

1. #include<iostream>
2. using namespace std;
4. int F(int n)//函数返回一个数对应的Fibonacci数
5. {
6. if(n==0 || n==1)//递归边界
7. return 1;
8. return F(n-1) + F(n-2);//递归公式
9. }
11. int main()
12. {
13. //测试
14. int n;
15. while(cin >> n)
16. cout << F(n) << endl;
18. return 0;
19. }

2.阶乘

阶乘的递归公式为：

代码如下：

1. #include<iostream>
   
2. using namespace std;
4. int F(int n)
5. {
6. if(n==0)//递归边界
7. return 1;
9. return n*F(n-1);//递归公式
10. }
12. int main()
13. {
14. int n;
15. cin >> n;
16. cout << F(n) << endl;
18. return 0;
19. }
20. 
    
21. 3.数组求和

给一个数组a[]:a[0],a[1],...,a[n-1]如何用递归的方式求和？

仍然是两个问题：递归边界和递归公式.

递归边界是什么？一时不容易想到，但是我们想到了求和，多个数的求和过程是什么，x,y,z,w手动求和的过程是什么？步骤如下：

x+y=a,任务变为a,z,w求和

a+z=b,任务变为b,w求和

b+w=c得出答案

思考一下，【得出答案】这一步为什么就可以得出答案呢？(废话？)是因为，一个数不用相加就能得出答案.

所以，递归的边界就是只有一个数.

所以，递归边界有了，那么递归公式呢？其实手动计算过程中，隐含了递归公式：

其中+为求两个数的和，F为求多个数的和的递归函数.代码如下：

1. #include<iostream>
2. using namespace std;
4. int F(int a[],int start,int end)
5. {
6. if(start==end)//递归边界
7. return a[start];
9. return a[start] + F(a,start+1,end);//递归公式
10. }
12. int main()
13. {
14. int a[] = {1,2,3,4,5};
15. int s=0,e=4;
16. cout << F(a,s,e) << endl;
18. return 0;
19. }

4.求数组元素最大值

手动求最大值的过程是什么，遍历+比较，过程如下：

例如，求3,2,6,7,2,4的最大值：先设置最大值max=-999999，然后将max和数组元素逐个(遍历)比较如果a[i]>max，则更新max的值为a[i]，否则max不变，继续向后遍历，直到遍历结束.

max<3，则max=3

max>2，max=3不变

max<6，则max=6

max<7，则max=7

max>2，max=7不变

max>4，max=7不变

遍历结束，max=7为最大值.

和求和类似，递归的公式如下：

其中max为求两个数的较大值函数，F为求多个数的最大值的递归函数.代码如下：

1. #include<iostream>
2. using namespace std;
4. #define max(a,b) (a>b?a:b)
6. int F(int a[],int s,int e)
7. {
8. if(s==e)
9. return a[s];
10. else if(s+1 == e)//递归边界
11. return max(a[s],a[e]);
13. return max(a[s],F(a,s+1,e));//递归公式!!!
14. }
16. int main()
17. {
18. int a[] = {5,1,4,6,2};
19. int s = 0,e = 4;
20. cout << F(a,s,e) << endl;
22. return 0;
23. }