树与二叉树详解-优快云博客

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1. 树的基本概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限节点组成的一个具有层次关系的集合。把它叫做树，是因为它的结构和现实生活中的树看起来很像，但它是一棵根在上，叶子在下的树

特点：
每个节点都有零个或多个子节点
没有父节点的节点称为根节点
每一个非根节点有且只有一个父节点
子树是不相交的

2. 树的相关概念

根节点：没有父节点的节点
节点的度：一个节点含有的子树的个数叫做该节点的度
叶节点（终端节点）：没有子节点的节点，也就是度为0的节点
双亲节点（父节点）：若一个节点含有子节点，那么这个节点就是其子节点的双亲节点
孩子节点（子节点）：一个节点含有的子树的根节点叫做该节点的孩子节点
兄弟节点：具有相同的双亲节点的节点互称为兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度叫做树的度
节点的层次：从根节点开始，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推
树的高度（深度）：书中节点最大的层次
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟节点
节点的祖先：从根节点所经分支上的所有节点
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都叫做该节点的子孙
森林：由m(m>=0)棵互不相交的树的集合

3. 树的表示方式

树的表示方式：

双亲表示法
孩子表示法
孩子兄弟表示法
以孩子兄弟表示法为例，了解一下树的存储结构：

typedef int DataType;
typedef struct Node
{
	struct Node* _firstChild1;			//第一个孩子的节点
	struct Node* _pNextBrother;		//指向下一个兄弟节点
	DataType _data;				//节点中的数值域
}Node;

在这里插入图片描述

4. 二叉树的基本概念以及特性

一棵二叉树是节点一个有限集合，该集合可以为空，或者是由一个根节点加上一棵左子树和一棵右子树的二叉树组成

特点：
每个节点最多有两棵子树，即二叉树的节点的度最大为2
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒

5.特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，每一层的节点个数都达到了最大值（也就是2），则这棵树就被称为满二叉树
完全二叉树：完全二叉树是由满二叉树引出来的，对于一棵深度为k，节点数为n的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中编好从1开始的节点一一对应的时候，我们称这棵树为完全二叉树。由此可见满二叉树其实就是一个特殊的完全二叉树

6. 二叉树的性质

在二叉树的第ｉ（ｉ>=１）层最多有２＾(ｉ - １)个结点。
深度为k(k>=0)的二叉树最少有k个结点，最多有２＾ｋ－１个结点（满二叉树）。
对于任一棵非空二叉树，若其叶结点数为n0，度为2的非叶结点数为n2，则ｎ0 = ｎ2 ＋１。
具有n个结点的完全二叉树的深度为向上取整int_UP（log(2，ｎ+1)）。
如果将一棵有n个结点的完全二叉树按顺序存储方式存储,则有以下关系：
（1）若ｉ= 1为根节点；若ｉ> 1，则结点 i 的父结点为结点int_DOWN（ｉ / ２）;
（2）若２＊ｉ <= ｎ，则结点ｉ的左孩子为结点２＊ｉ；
（3）若２＊ｉ＜＝ｎ，则结点ｉ的右孩子为结点２＊ｉ＋１；
（4）若结点编号ｉ为奇数，且ｉ！＝１，它处于右兄弟位置，则它的左兄弟为结点ｉ－１；
（5）若结点编号ｉ为偶数，且ｉ！＝ｎ，它处于左兄弟位置，则它的右兄弟为结点ｉ＋１；
（6）结点ｉ所在的层次为 int_DOWN（log（2，ｉ））＋１。

7. 二叉树的存储方式

二叉树的存储结构分为两类：顺序存储、链式存储

1.顺序存储一般是用数组来存储，一般只使用数组来存储完全二叉树，因为普通的二叉树用数组存储会有空间的浪费
在这里插入图片描述

2.链式存储方式是用链表来表示一棵树，通常是链表中的每个节点由三个域组成，值域和左右指针域，左右指针域分别用来存储该节点的左右孩子的地址。链式结构又分为二叉链和三叉链

//二叉链（孩子表示法）
typedef int Datatype;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* _pLeft;   //指向当前节点的左孩子
	struct BinaryTreeNode* _pRight;  //指向当前节点的右孩子
	DataType _data;           //当前节点的值域
}BinaryTreeNode;

//三叉链（双亲孩子表示法）
typedef int Datatype;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* _pPraent;  //指向当前节点的双亲结点
	struct BinaryTreeNode* _pLeft;    
	struct BinaryTreeNode* _pRight;
	DataType _data;
}BinaryTreeNode;