矩阵连乘问题算法思想_动态规划之矩阵连乘问题

问题描述：给定n个矩阵(A1,A2,A3.....An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,...n-1。考察n个矩阵的连乘积A1A2A3,....An。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序，这种计算次序可以用加括号的方式来确定。加括号的方式决定了整个计算量(指的是乘法调用的次数)。所以自然会提出矩阵连乘积的最优计算次序问题。

自然，首先想到的是用枚举法，算出每一种加括号情况下的计算量，取最小的情况。工程之庞大可想而知。溯其源，会发现，"枚举“的这种想法是不可避免的，只有所有情况都考虑比较后，才会出现那个最小量乘的结果。普通的枚举导致庞大工程的一个重要因素就是”子问题重复计算“。这里先要明确，什么是矩阵连乘的子问题。

以A1A2A3A4为例，它的子问题为：A1    A2    A3    A4     A1A2    A2A3     A3A4  A1A2A3   A2A3A4   A1A2A3A4 。你要求A1A2A3A4的最优次序，势必要先求段长为3的子问题的最优次序，而段长为3的子问题是基于段长为2的子问题的基础之上的(这就是一种自底向上的递归)。以此推下去，你很容易会发现两个有意思的现象:第一，假如你已计算出段长为3的子问题的最优次序，那该最优次序下的子问题也是最优的(你可以通过反证法获知)；第二，计算完段长为2的子问题，再计算段长为3的子问题时，你还会用到段长为2的子问题的计算结果，那何不把先前的计算结果进行保存，避免重复计算。

以下就是动态规划算法解决矩阵连乘问题的相关代码，思想无非就两点：

第一，自底向上的递归式：