6阶群的非平凡子群_抽象代数3-2正规子群和商群

从局部到整体是研究代数结构的一个途径。商代数就是基于这种思想。给一个比较好的子群--“正规子群”，由正规子群做出来的左陪集的集合上可以定义代数运算，从而得到商群的概念。商群某种意义上可以看做一个子群，如果是有限群的话，商群的元素个数是整除群的阶的，从而商群某种意义上可以看做一个子群，其性质继承了原来群的很多性质，而元素个数又少于原来的群，所以给原来群的结构的研究带来了便利。当然商群还有其他的好性质，例如同态学基本定理得到：一个代数结构的满同态象实际上同构于一个商代数。

Galois发现，满足左右陪集相等的子群具有特别重要的意义。

定义1: 设N是群G的一个子群. 如果

, 均有：

, （即

）,则称N是群G的一个正规子群（或不变子群），记为

。

注：（1）{e}, G显然是G的两个正规子群，称为平凡正规子群；G的其他的正规子群，如果存在的话，称为非平凡正规子群； （2）若G（|G|>1）只有平凡正规子群，称G为单群.

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（一）正规子群的例子

例：1. 群的中心

是G的正规子群。

2. 交换群的所有子群都是正规子群。

定义2 每个子群都是正规子群的非交换群称为哈密顿群（Hamilton group）。
四元数群

是哈密顿群。

3. 若

,则

.

这三个例子都很显然，1，2是因为元素乘积满足交换律，所以左右陪集显然相等。3对于大群G里的任意元素g有gN=Ng,显然对G的一个子集和里的任意元素h，也有hN=Nh.

4. 指数为2的子群一定是正规子群。

证：若H是G的指数为2的子群，若

则

,从而

（1）

,由于

，故

.同理（2）

.

从而有推论：n次交错群

一定是n次对称群

的正规子群。

还可以得到一些简单结果，例如：60阶的交错群

没有30阶元。否则会得到一个指数为2的子群为正规子群，这与交错群

是单群矛盾。

5. 正规子群不具有传递性，即正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群. 即

反例：从对称群之前的例子可知，实际上Klein四元群 包含了

中的所有的二阶偶置换。

。

(1)

仍是2阶偶置换，从而还在

中。因此

,也有

.

(2) Klein四元群是交换群，从而子群

(3) 但是

,于是B既不是

的正规子群，也不是

的正规子群。

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（二）正规子群的判定定理和简单性质

通常用下面的定理判定一个子群是否是正规子群，这也是正规子群的一个等价定义。

定理1：设N是群G的一个子群. 则

证：实际上

显然，只需证

。若对

任取

,从而

.同理

之前在3-1群同态知道：群的同态保持子结构，接下来的定理告诉我们，满的群同态保持正规子群的结构：把正规子群映成正规子群，正规子群的原象集合也是正规子群。

定理2： 设φ是群G到群G̅的满同态。则： （1）

（2）

证：注意到群同态把子群映成子群，子群的原象集合也是子群。再结合φ是满同态，如果

则

易证。

之前子群的章节提到两个子群H、K的乘积HK未必是子群，只有当集合HK=KH时，乘积HK才是子群。但是对于正规子群来讲，正规子群对集合的乘积保持比较好，主要是因为正规子群的左右陪集相等。

定理3： (1) 群G的正规子群与群的乘积是群G的子群; (2) 群G的两个正规子群的乘积仍是正规子群; (3) 群G的两个正规子群的交仍是正规子群。

证：（1）若N是G的正规子群，H是子群， 易证HN=NH,从而HN是子群。例如：

(2)、(3)显然：例如（2）

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（三）商群的定义和简单应用

正规子群的一个重要的好性质就是：正规子群的所有陪集的集合关于陪集的乘法构成一个群。

设N是G的正规子群，则

.自然的，可以定义：

陪集的乘法：

定理4: 群G的正规子群N的全体陪集关于陪集的乘法构成群，称为G关于N的商群，记为G/N.

证：（1）陪集乘法定义的合理性：若

则

（2）陪集乘法的封闭性和结合律是显然的。
（3） 单位元为：

(4)每个陪集

aN的 逆元为

.

推论1：若G是有限群，则

推论2：若G是交换群，则G/N也是交换群。

下面看商群的一个应用，实际上商群可以看做原来群的子群，其性质与原来群的性质有很多相似之处。从而可以通过“更小”的商群来研究原来的群。

定理5（Cauchy定理） 设群G是pn阶交换群，其中p是素数，则G有p阶元素，从而有p阶子群。

证明思路：通过G的一个正规子群，构造一个小的商群，在商群里寻找p阶元，从而构造原来群里的p阶元。

注：当群G 是非交换群时，Cauchy 定理仍成立。证明：方法1可以用共轭作用的群方程（见后面的群作用章节的广义柯西定理）。方法2可以用子群H的共轭子群

（见课后习题

）。实际上，元素x的共轭元

，元素a,b的换位子

在处理非交换代数、甚至非结合代数时有重要的地位。

证明：对n用归纳法，n=1时，素数p阶群一定是循环群，生成元是p阶元。
假设Cauchy定理对

阶交换群成立，往证对pn阶交换群也成立。

任取

(1) 若

令

(2) 若

，令

，则

由Lagrange定理，

令

，由于G是交换群，故N是正规子群，

由归纳假设，G/N中存在p阶元，设为bN。令

故

令

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（四）有限单群分类定理

下面考虑一种简单的群结构：单群，无非平凡正规子群的群。

有限交换单群的结构比较简单。

定理6 有限交换群G是单群⟺|G|是素数。

证：由Lagrange定理，和交换群的每个子群都是正规子群，很容易证明。

有限单群分类定理说的是，有限单群一共分为下面的4类：

有限单群的分类是代数学里的一个巨大的工程。有关的文章大多发表于1955年至2004年，目的在于将所有的有限单群都给清楚地分类。这项工程总计约有100位作者在500篇期刊文章中写下了上万页的文字，详见《环球科学》2015年 第8期 《拯救宇宙中最宏伟的定理》，作者：斯蒂芬·奥尔内斯 （Stephen Ornes）。“为了保存“宏伟定理”长达15000页的证明，几位年老的数学家正在与死神赛跑。全世界能够理解这些证明的人所剩无几，他们害怕在年轻一代数学家接班之前就会离开人世。”

拯救宇宙中最宏伟的定理(图)-搜狐滚动​roll.sohu.com

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拓展：月光猜想 moonshine conjecture与伴影月光猜想Umbral moonshine conjecture

怪兽群（魔群）的阶数与J函数的系数之间，Matheiu群等的阶数与模函数类

函数之间存在联系，联系的桥梁甚至是弦理论，量子引力理论。月光猜想 moonshine conjecture与伴影月光猜想Umbral moonshine conjecture（始构建于2012年），以“伴影月光猜想”为基础的弦理论可能已经“不仅仅只是某种简单意义上的物理理论，极有可能有着特殊的重要意义，它暗示着在K3曲面这样的物理概念之中，一种特殊的对称性也在扮演着某些作用。”

详见：“天才数学家死前发现的函数，尘封80年后成了联系数论、代数和弦理论的关键”----撰文：Erica Klarreich，翻译：叶宣伽，审校：胡家僖 天才数学家死前发现的函数，尘封80年后成了联系数论、代数和弦理论的关键_《环球科学》（“科学美国人”中文版）【唯一官方网站】

天才数学家死前发现的函数，尘封80年后成了联系数论、代数和弦理论的关键_《环球科学》（“科学美国人”中文版）【唯一官方网站】 https://www.huanqiukexue.com/a/qianyan/tianwen__wuli/2016/0923/26494.html​www.huanqiukexue.com 天才数学家死前发现的函数，尘封80年后成了联系数论、代数和弦理论的关键_月光​www.sohu.com

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