本文介绍了如何在数据结构的图中计算关键路径。通过AOV和AOE网络定义，详细阐述了活动、事件以及它们的最早开始和最晚开始时间。通过前向和后向遍历计算每个顶点的ve和vl值，并据此求得边的e和l值，找出关键路径。关键路径是指具有最大路径长度的路径，文章以一个简单有向图为示例，逐步解析了关键边和关键路径的确定过程。
关键路径
简单有向图.png
网络
AOV网络：有向图，用顶点表示活动，用弧表示活动的先后顺序
AOE网络：有向图，用顶点表示事件，用弧表示活动，用权值表示活动消耗时间
名词解释
活动：业务逻辑中的行为，用边表示
事件：活动的结果或者触发条件
关键路径：具有最大路径长度(权重)的路径，可能不止一条
活动的两个属性：
e(i)表示最早开始时间
l(i)表示最晚开始时间
事件的两个属性：
ve(j)最早开始时间
vl(j)最晚开始时间
在下面的计算过程中，就可以理解这些属性的概念了
计算关键路径的过程
原理：
先求出每个顶点的ve和vl值
通过这两个值就可以求出每条边的e和l值。
取e(i)=l(i)的边就是关键路径上的边，关键路径不止一条
简单有向图.png
一、求ve(i)的值
从前向后，直接前驱节点的ve值＋当前节点的边的权值(有可能多条，取最大值)
第一个顶点的ve等于0
ve(1) = 0
ve(2) = ve(1) + len(a1) = 0 + 3 = 3
ve(3) = ve(1) + len(a3) = 0 + 2 = 2
ve(4) = ve(1) + len(a2) = 0 + 6 = 6
ve(5) = min{ve(2) + len(a4),ve(4) + len(a8)} = min{7,7} = 7
ve(6) = ve(3) + len(a7) = 2 + 3 = 5
ve(7) = min{ve(a5) + len(a9),ve(6) + len(a10)} = min{10,9} = 10
下表为各顶点(事件)的ve值：
顶点
ve(1)
ve(2)
ve(3)
ve(4)
ve(5)
ve(6)
ve(7)
ve(i)
0
3
2
6
7
5
10
简单有向图.png
二、求vl(j)的值
从后向前，直接后继节点的vl值－当前节点的边的权值(有可能多条，取最小值)
终结点的vl等于它的ve
vl(7) = ve(7) = 10
vl(6) = vl(7) – len(a10) = 10 – 4 = 6
vl(5) = vl(7) – len(a9) = 10 – 3 = 7
vl(4) = vl(5) – len(a8) = 7 – 1 = 6
vl(3) = min{vl(6) - len(a7),vl(4) - len(a6)} = min{3,5} = 3
vl(2) = min{vl(5) - len(a4),vl(4) - len(a5)} = {3,4} = 3
vl(1) = min{vl(2) - len(a1),vl(4) - len(a2),vl(3) - len(a3)} = min{0,0,1} = 0
下表为各顶点(事件)的vl值：
顶点
vl(1)
vl(2)
vl(3)
vl(4)
vl(5)
vl(6)
vl(7)
vl(j)
0
3
3
6
7
6
10
简单有向图.png
三、求e(i)的值
e(i):活动ai是由弧表示，则活动的最早开始时间应该和事件vk的最早发生时间相等，因此，就有e(i)=ve(k)。即：边(活动)的最早开始时间等于它发出的顶点(事件)的的最早发生时间
参考之前的个顶点的ve和c：
顶点
ve
vl
v1
0
0
v2
3
3
v3
2
3
v4
6
6
v5
7
7
v6
5
6
v7
10
10
e(1)、e(2)、e(3) 活动(a1、a2、a3三条边)发出的顶点为v1，时间为0
e(4) 即为a4这条边发出的顶点 v2的发生的时间ve(2) = 3
e(5) 即为a5这条边发出的顶点 v2的发生的时间ve(2) = 3
e(6) 即为a6这条边发出的顶点 v3的发生的时间ve(3) = 2
e(7) 即为a7这条边发出的顶点 v3的发生的时间ve(3) = 2
e(8) 即为a8这条边发出的顶点 v4的发生的时间ve(4) = 6
e(9) 即为a9这条边发出的顶点 v5的发生的时间ve(5) = 7
e(10) 即为a10这条边发出的顶点 v6的发生的时间ve(6) = 5
得出的e(i)值：
边
a1(3)
a2(6)
a3(2)
a4(4)
a5(2)
a6(1)
a7(3)
a8(1)
a9(3)
a10(4)
e(i)
0
0
0
3
3
2
2
6
7
5
简单有向图.png
四、求l(i)的值
l(i):活动ai是由弧表示，则ai的最晚发生时间要保证vj的最迟发生时间不拖后(vj最迟发生时间为9的话，ai的最迟时间就必须是 9-活动耗时 )。因此，l(i)=vl(i)-len，即：活动到达顶点的最晚发生时间减去边的权重
参考之前的个顶点的ve和c：
顶点
ve
vl
v1
0
0
v2
3
3
v3
2
3
v4
6
6
v5
7
7
v6
5
6
v7
10
10
l(i) = 当前边的指向结点的最晚发生时间[vl(i)] - 当前时间(即边)所消耗的时间
l(1) = vl(2) – len(a1) = 3 – 3 = 0
l(2) = vl(4) – len(a2) = 6 – 6 = 0
l(3) = vl(3) – len(a3) = 3 – 2 = 1
l(4) = vl(5) – len(a4) = 7 – 4 = 3
l(5) = vl(4) – len(a5) = 6 – 2 = 4
l(6) = vl(4) – len(a6) = 6 – 1 = 5
l(7) = vl(6) – len(a7) = 6 – 3 = 3
l(8) = vl(5) – len(a8) = 7 – 1 = 6
l(9) = vl(7) – len(a9) = 10 – 3 = 7
l(10) = vl(7) – len(a10) = 10 – 4 = 6
边
a1(3)
a2(6)
a3(2)
a4(4)
a5(2)
a6(1)
a7(3)
a8(1)
a9(3)
a10(4)
l(i)
0
0
1
3
4
5
3
6
7
6
五、求出关键边和关键路径
列出总表：
顶点
ve
vl
活动
e
l
l – e
关键路径
v1
0
0
a1
0
0
0
√
v2
3
3
a2
0
0
0
√
v3
2
3
a3
0
1
1
v4
6
6
a4
3
3
0
√
v5
7
7
a5
3
4
1
v6
5
6
a6
2
5
3
v7
10
10
a7
2
3
1
a8
6
6
0
√
a9
7
7
0
√
a10
5
6
1
其中e(i)==l(i)的边：
a1 a2 a4 a8 a9
所组成的路径即为关键路径：
a1->a4->a9 和 a2->a8->a9
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