直线和圆交点 halcon_高考圆锥曲线---直线系方程

等火车回家，闲来无事，从网盘里自己高中几百页的数学笔记本备份里扣两张讲讲。

*涉及的知识将都以初等、通俗的方式呈现。

*确实故意用希腊字母吓人，不想看的可以劝退了。

圆锥曲线有两个方程：直线系、曲线系

曲线系相信大家不陌生，比如说求圆和圆的公共弦，比如说求圆的公切线。然而直线系老师在课堂里讲的比较少，在于这个方法放在高考答卷上会显得颇有竞赛试卷中“我们注意到：...”的韵味，老师能不能接受还真是个问题，不过部分填空题和解答题的答案有了这个方法，答案一眼就出来。

来看题目：曲线x^2/a^2+y^2/b^2=1，a＞0，b＞0，（*未说是椭圆还是圆）T(t,m)，m＞0固定，t≠0任意。

*将圆和椭圆的共性一起介绍，更适合理解

解法一：首先，由对称性知：如果过定点，那么定点一定在x轴上。其次，简单地分析，会发现求的是直线与点的性质，这一点和配极原理极其相似。根据配极可以立刻知道这里定点x坐标一定是a^2/t。然后就可以先猜后证解决该题了。

补充：为什么说圆中的配极在椭圆中也成立呢？仅通过初等的知识就能轻易得到答案：配极、极点极线都只使用到“比例”、“数量”这一概念。而仿射变换具有保比性（不妨以仿射变换的一个压缩方向为一个轴，建立直角系，则可以发现线段比例均不变（这里的比例是指同一直线上几个点划分出的线段），交点数量也不变（因为变换相对性不变）。这些都没有触碰极点极线的原理，因此仍然成立。

解法二：（图中解法）

我们发现，这里涉及到的且我们掌握它们一切信息的点有A、B、T三个，三点决定的三个直线我们也是完全掌握信息的。在这里我们想求定点，那一定要MN的信息了。开始使用直线系方程：

将AT：φ(x,y)=0与BT：ψ(x,y)=0“相乘”得到的方程F(x,y)=0满足：A,B,M,N都是它的解。又A,B,M,N都是椭圆的方程E(x,y) =0的解，因此它们均是Π=α•φ•ψ+β•E=0这个关于x,y的二次的方程的根，其中α, β是任意常数。我们现在仅仅关注A,B,M,N这四个解：

由于想做直线MN，则仅保留M,N点的信息，如何把A,B与M,N拆分开呢？发现A和B决定了一条直线σ (x,y) =0，则试图让Ω=Π/σ是一个直线方程（因为Ω中x和y必定不会均是二次的），于是调整α和β，去凑关于σ的因式分解，就做出直线Ω来了。又因为M,N都是Ω的解，则Ω即为直线MN。过程如下：

直线系解答方法

我们觉得，既然都是能因式分解的题目，待定系数法便可以解，那么为何一定要与x轴有关呢？为何一定要过O点呢？于是我们推广之：

首先由仿射变换和解析几何我们可以做出一般解，然后解析方法留给读者自证//滑稽