本文聚焦动态规划中的最长不下降子序列和最长上升子序列问题。介绍了最长不下降子序列的定义，给出 \(O(n^2)\) 的搜索方法，分析状态、状态转移及初始条件，推导状态转移方程并进行复杂度分析。最长上升子序列解法类似，仅状态转移方程符号不同。
问题简析
哈喽，动态规划问题的解析又来了！这次带来的是最长不下降子序列和最长上升子序列问题，因为这两个问题在代码上是99%以上的相似(仅有一个符号不同)，所以把它们放在一起讲。那么什么叫最长不下降子序列？
假设序列
，我们要找一个最长不下降子序列，什么意思呢？就是设序列
，
。我们看这个序列，可以直观看出一个最长的不下降子序列为：
。如果我们直接用暴力搜索的方法，时间复杂度是
，只要序列再长一点，就已经是不可接受的时间了。
那么我们现在来讲一种
的搜索方法，至于
的方法，留待下一次讲吧~
最长不下降子序列问题
我们先来想一下，最长不下降子序列是一种什么样的问题？
它是一种有状态的问题，一个更长的不下降子序列，必定由一个较短的不下降子序列拼接而来。这样说不太严谨，我们来点数学定义：
若：
是一个不下降子序列，并且有
，那么
也是一个不下降子序列。这里的
是序列
中的任意一项(也即
)，且序列
是一个不下降的序列。
我们可以从上述定义中看出，状态就是移动到第
个数，状态转移就是选择序列第
个数与否来构建新子序列。状态的初始条件就是把第
个数作为子序列的开头。
啊啊啊啊啊啊！怎么这么抽象！你是学数学的吗？
抱歉，并不是，接下来我们还是构建一个
序列，来看看子序列是怎么被找到的。
还是假设序列
，我们构建一个等长的
序列，
的意义是：在选择第
个状态与否的时候子序列最长的长度。
好，我们先来初始化
序列，因为序列
中的每个数单独拎出来做成一个序列，都是一个不下降子序列，比如
,
等等，它们都是序列
不下降的子序列。所以
的初始化条件为：
其中
是序列
的长度，在这里是6。
接下来我们开始遍历
序列，
，因为选择第0个元素构成的子序列
是当前的最长不下降子序列。
那么
是多少呢？我们首先得看
可以跟谁组成最长不下降子序列，我们发现
(并且也只有
可以选了)，说明我们可以把6拼到
的后面，组成当前的最长不下降子序列
，这个时候，
。
接下来我们看
，和上面相同地，我们观察所有满足
的
，发现这个时候
。那么我们回想，
的含义是
状态下的不下降子序列的长度，因为我们要求的是子序列长度最长，所以有多个
满足的情况下，我们当然选
，这里的
代表取多个数中的最大值。我们发现
。所以也就是说延续1状态把
接上去，会得到最长的序列。
什么意思呢，如果采用
，得到的不下降子序列就是
。如果采用
，得到的不下降子序列就是
，那肯定是继承
的状态要优于
。那么这个时候
。
接下来我们看
，我们知道，首先得满足
的
，然后才能继续谈其他的。我们发现这个时候只有唯一解，那就是
。但是这个时候的
，那还不如直接不选
的情况，保留
这个子序列，也比选
所构造的
这个子序列长。
那后续就好办了，
，此时子序列为
。
，此时子序列为
。此时已经到最后一个序列元素了，状态转移也就停止了。
那么上面分析了那么多，如何得到状态转移方程呢？我们归纳一下，就是：
就是说，要么我不选第
个元素，维持上一个状态的不下降子序列。要么我去翻前面的可以构成不下降子序列的序列末尾元素(
)，然后把
加到这个不下降子序列里，构成更长的不下降子序列。选哪种？当然是哪种可以让我的不下降子序列更长我选哪种。
比如我们上面分析
的时候，选不选
？选了，就只能构成
这个子序列。不选，还可以保留上个状态构成的
子序列。那明显不选更长，所以
函数就是这样使用的。
复杂度分析
遍历一遍
序列时间复杂度为
，在每一次搜索
的时间复杂度为
。所以总的时间复杂度就是
。空间复杂度就是
数组的空间，空间复杂度为
。
最长上升子序列问题
解法同最长不下降子序列问题，只是状态转移方程为：
可以发现大于等于号变成了大于号，这就是最长上升子序列的定义。
具体实现的代码留作课后习题。
思考题：你可以进一步下降这个问题的时间复杂度吗？
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