fftw3图片傅里叶变换_傅里叶变换学习笔记(3)

从傅里叶级数到傅里叶变换的转化

傅里叶级数到傅里叶变换的转化，也就是周期性现象到非周期性现象的转化。这种转化实际上是将非周期看成周期为无穷。

函数的分析(analysis)（各方向对函数的贡献）

和函数的合成(synthesis)（从函数的组成中恢复出函数）

都可以推广到傅里叶变换中。

傅里叶变换是对傅里叶系数（分析）的一般化，而傅里叶逆变换则是对傅里叶级数（合成）的一般化。

当周期为

时，即

时，

傅里叶级数为

傅里叶系数为

（注意复指数以

为周期）

改写为

现在假设

在

外的一切点的函数值为零，取足够大的

使得

于是

而

记

为常数，得到

所以当

时，

，而这表明不能够直接取极限。

我们记

那么傅里叶级数为

如果这里把

看成离散变量，它会接近于连续变量（间距为

)，记为连续变量

那么在

的情况下，

同时将

视为

把求和化为积分得到：

最终得到傅里叶变换的定义：

如果

是定义在整个实数域上的函数，

定义

在

处的

傅里叶变换：

定义

在

处的

逆傅里叶变换：

傅里叶变换把

分解为组成部分，逆傅里叶变换把组成部分合成为原函数。

我们通常把

作为时间变量，

作为频率变量；

把函数定义在时域（the time domain)，傅里叶变换定义在频域(the frequency domain)。

每一个信号都有频谱，频谱决定了信号。

图片来自谷歌

同时注意到

在

处的傅里叶变换

在

处的傅里叶逆变换

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以下是三个重要特例：矩形函数、三角形函数和高斯函数

1.矩形函数：

称之为帽函数(the top-hat function)，因为形似

也叫

函数（来自Bracewell).

矩形函数的图像

矩形函数的傅里叶变换

即

我们定义

y=sinc x的图像

2.三角形函数：

三角形函数的图像

三角形函数的傅里叶变换

于是得到

y=sinc^2 x的图像（实线）

总结一下得到：

3.高斯函数(the Gaussian)：

这里不加证明地说明

我们可以证明：高斯函数的傅里叶变换是它本身。

一种方法是：

另一种方法是对傅里叶变换：

关于

求导得到

由于

，所以

于是我们得到了一个微分方程：

方程具有唯一解：

而根据已有的结论

因此得到