费马定理中值定理_考研数学中值定理命制答题总结

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1. 利用连续函数在闭区间的介值定理可解决的一类中值问题，即证明存在ξ∈[a,b]，使得某个命题成立。

2. 利用罗尔定理、费马定理可解决的一类中值定理，即证明存在ξ∈[a,b]，使得H(ξ，f(ξ),f’(ξ))=0。

(1)这类题目难点有两点：一是如何构造辅助函数，二是如何验证两端点值相等。

(2)证明一阶导数为0，也就是使用一次罗尔定理的问题，但有些题目涉及到二阶导数为0，即要多次使用罗尔定理，这种问题难点一般不在辅助函数的构造，而是要找到三个不同点的函数值相等，f(a)=f(b)=f(c),分别在[a,b],[b,c]上使用罗尔定理，有f’(ξ₁)=f’(ξ₂)=0,进而在[ξ_1, ξ₂]上再对f’(x)使用罗尔定理，f”(ξ)=0, ξ∈[ξ₁, ξ₂]属于(a,b)。

3.利用拉格朗日中值定理可解决一类双中值且中值不同的问题，即证明：存在不同的ξ，η∈(a,b)使得某个命题成立。

4.利用拉格朗日、柯西中值定理可解决的一类双中值且不要求中值不同的问题，即证明存在ξ，η∈(a,b)使得某个命题成立。

5.利用泰勒公式证明高阶导的问题

泰勒公式再使用证明中值定理时，把握好展开点X₀与被展开点X是最关键的，展开点一般选取已知导数信息最多的点，包含隐含导数信息的点如极值点等，被展开点一般试着把式子有利于待证结论化简而选取，往往可以取端点或者中间点等。

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