keil编写正弦函数_12-1 三角函数

前言

公元2世纪，托勒密在喜帕恰斯的基础上，编写了《天文学大成》，其中记录了锐角三角函数每隔半度的值，被认为是第一本系统论述三角学理论的著作。

同时代的梅涅劳斯则写了一本《球面学》，把三角形的诸多性质在三维空间中进行了推广。

不过直到14世纪，阿拉伯人才将三角函数代数化，使其从几何中脱离出来，成为独立的数学分支。

在这之后，1748年，欧拉的《无穷分析引论》用无穷级数定义了三角函数的值，提出欧拉公式，建立了现代数学使用的三角函数。

圆和直角三角形

在学习垂径定理时，我们接触到了圆内的直角三角形。

如图，△ABD就是一个直角三角形，∠ADB是直角。

当我们改变B在圆上的位置，保持垂径不变，圆心角和弦长都会改变。

如果把圆的半径固定为1，或者用除法消去，我们就得到了一种把角的大小映射成弦的长度的函数，这就是三角函数。

三角函数的定义

为了方便起见，我们在半径为1的单位圆上进行讨论，即AB=1。

三角函数把图中的∠BAD转化成对应的线段长度。

第一种介绍的三角函数叫正弦函数，记作sin。

正弦顾名思义就是角正对着的弦，即图中的BD，于是我们有：

​

曾经也有一种三角函数对应BE，但BE不在直角三角形内，不能使用勾股定理，计算很复杂，后来就被数学家放弃了。

第二种介绍的三角函数叫余弦函数，记作cos。

余弦指图中的BG，可以理解为余角∠BAG的正弦，即：

同时余弦等于弦心距，即图中的AD，即：

最后一种介绍的三角函数叫正切函数，记作tan。

正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，即：

​

为什么要叫正切函数呢？因为有结论，正切函数值等于正对着的切线和半径的比值，即：

​

练习：证明这个结论。

探索：如果角度大于直角，三角函数会怎样？如果是负角度呢？

探索：还有其他三角函数吗？

由于圆半径为1，由勾股定理有：

​

练习：将上式变形为正切形式。

探索：还有哪些三角函数的等式？

直角三角形中的三角函数

当然，我们也可以不依靠圆，直接把直角三角形单独拿出来定义三角函数。

如图，把α的对边记为a，邻边记为b，直角三角形的斜边记为c。

则三角函数定义为：

​

常见的三角函数值

利用我们已经学过的几何知识，我们可以方便求出一些常用的三角函数。

练习：求​

的正弦，余弦，正切。

探索：其他常见的三角函数如何求值？

探索：如何对于任意三角函数求值？

同样，我们可以反过来对于给定的三角函数值，求出角的大小，被称为反三角函数。

探索：反三角函数有哪些需要注意的地方？

尾声

三角函数的学习将会贯穿初中、高中、大学，从最简单的几何定义，到三角函数的各类变换等式和定理，再到无穷级数定义和傅里叶分析。

单就几何来说，三角函数可以高效进行各类边长的求解，也是将图形转化到坐标系内的重要工具。

有了三角函数，我们就可以暴力解决一大批与三角形的边和角有关的计算问题。

下一步，我们将进入最后的概率统计部分。

预习：概率是什么，有什么性质？